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  3. 设有幂级数。求： (Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域； (Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。

设有幂级数。求： (Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域； (Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。

admin2020-08-03  43
问题 设有幂级数。求：
(Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域；
(Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。
选项
答案(Ⅰ)[*]故收敛半径为[*]收敛区间为[*] [*] 由于[*]均收敛，则[*]收敛 [*] 由于[*]均收敛，则[*]收敛。故收敛域为[*] (Ⅱ)令[*]则其导函数为 [*] 记 [*] 记 [*] 则[*]逐项求导可得 [*] 两边同时积分，2xS2(x)＝－2In(1—2x)+C。将x＝0代入，可得C＝0，故 [*] 当x=0时，S2(x)＝2，则 [*] 故 [*]
解析 如果则收敛半径为求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数，再对和函数求积分或求导，这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。
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考研数学一

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