设有幂级数。求： (Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域； (Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。

admin2020-08-03 32

问题设有幂级数

。求：
(Ⅰ)该幂级数的收敛半径与收敛域；
(Ⅱ)该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。

选项

答案(Ⅰ)[*]故收敛半径为[*]收敛区间为[*] [*] 由于[*]均收敛，则[*]收敛 [*] 由于[*]均收敛，则[*]收敛。故收敛域为[*] (Ⅱ)令[*]则其导函数为 [*] 记 [*] 记 [*] 则[*]逐项求导可得 [*] 两边同时积分，2xS₂(x)＝－2In(1—2x)+C。将x＝0代入，可得C＝0，故 [*] 当x=0时，S₂(x)＝2，则 [*] 故 [*]

解析如果

则收敛半径为

求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数，再对和函数求积分或求导，这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。

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考研数学一

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