[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．

admin2019-05-16 59

问题 [2010年] 求函数f(x)=∫₁^x²(x²一t)e^-t²dt的单调区间与极值．

选项

答案(1) f(x)=∫₁^x²(x²一t)e^-t²dt =x²∫₁^x²e^-t²dt—∫₁^x²te^-t²dt， f’(x)=2xe∫₁^x²e^-t²dt+2x³e^-x⁴—2x³e^-x⁴ =2x∫₁^x²e^-t²dt. ① 令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得 [*] 因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)． (2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数．又因f’’(x)=2∫₁^x²e^-t²dt+4x²e^-x⁴，故f’’(0)=2∫₀¹e^-t²dt＜0，f’’(±1)=4e^-1＞0．于是f(0)=∫₀¹(0一t)e^-t²dt=[*]为极大值，f(±1)=0为极小值．

解析

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考研数学一

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