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  3. [2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．

[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．

admin2019-05-16  36
问题 [2010年]  求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．
选项
答案(1) f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt =x2∫1x2e-t2dt—∫1x2te-t2dt， f’(x)=2xe∫1x2e-t2dt+2x3e-x4—2x3e-x4 =2x∫1x2e-t2dt. ① 令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得 [*] 因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)． (2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数． 又因f’’(x)=2∫1x2e-t2dt+4x2e-x4，故f’’(0)=2∫01e-t2dt＜0，f’’(±1)=4e-1＞0． 于是f(0)=∫01(0一t)e-t2dt=[*]为极大值，f(±1)=0为极小值．
解析
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考研数学一

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