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[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值.
[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值.
admin
2019-05-16
58
问题
[2010年] 求函数f(x)=∫
1
x
2
(x
2
一t)e
-t
2
dt的单调区间与极值.
选项
答案
(1) f(x)=∫
1
x
2
(x
2
一t)e
-t
2
dt =x
2
∫
1
x
2
e
-t
2
dt—∫
1
x
2
te
-t
2
dt, f’(x)=2xe∫
1
x
2
e
-t
2
dt+2x
3
e
-x
4
—2x
3
e
-x
4
=2x∫
1
x
2
e
-t
2
dt. ① 令f(x)=0,由式①得到驻点x=0,x=±1.下面分别考察f(x)在区间(一∞,一1),[一1,0),[0,1),[1,+∞)上的单调性.进一步,易求得 [*] 因此f(x)的单调减少区间是(一∞,一1]∪[0,1],单调增加区间是[一1,0]∪[1,+∞). (2)求出驻点x=0,x=±1后,再求驻点处的二阶导数. 又因f’’(x)=2∫
1
x
2
e
-t
2
dt+4x
2
e
-x
4
,故f’’(0)=2∫
0
1
e
-t
2
dt<0,f’’(±1)=4e
-1
>0. 于是f(0)=∫
0
1
(0一t)e
-t
2
dt=[*]为极大值,f(±1)=0为极小值.
解析
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考研数学一
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