已知线性方程组的一个基础解系为(b11，b21，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，试写出线性方程组的通解，并说明理由。

admin2018-04-08 71

问题已知线性方程组

的一个基础解系为(b₁₁，b₂₁，…，b_1,2n)^T，(b₂₁，b₂₂，…，b_2,2n)^T，…，(b_n1，b_n2，…，b_n,2n)^T，试写出线性方程组

的通解，并说明理由。

选项

答案可记方程组(Ⅰ)A_n×2n=0，(Ⅱ)B_n×2ny=0，B^T的列是(Ⅰ)的基础解系，(Ⅰ)，(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A，B，由于B的每一行都是A_n×2nx=0的解，故AB^T=O。故由基础解系的定义知，B^T的列向量是线性无关的，因此r(B)=n。从而线性方程组(Ⅱ)的基础解系中含有2n－r(B)=2n－r=n个向量。对AB^T=O两边取转置，有(AB^T)^T=BA^T=O，则有A^T的列向量，即A的行向量是By=0的解。由于线性方程组(Ⅰ)的基础解系中含有n个向量，可知n=2n－r(A)，得r(A)=2n－n=n。因此，A的行向量线性无关。从而A^T的列向量是By=0的n个线性无关的解，也即A^T的列向量是By=0的基础解系。综上所述，线性方程组(Ⅱ)的通解为k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_nξ_n其中， ξ₁=(a₁₁，a₂₁，…，a_1,2n)^T，ξ₂=(a₂₁，a₂₂，…，a_2,2n)^T，…，ξ_n=(a_n1，a_n2，…，a_n,2n)^T，且k₁，k₂，…，k_n为任意常数。

解析

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考研数学一

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已知线性方程组的一个基础解系为(b11，b21，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，试写出线性方程组的通解，并说明理由。

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已知A是n阶矩阵，α1,α2……αs是n维线性无关向量组，若Aα1,Aα2……Aαs线性相关．证明：A不可逆．

设A是3×3矩阵，α1,α2,α3是三维列向量，且线性无关，已知Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求｜A｜．

已知α1,α2……αs线性无关，β可由α1,α2……αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1,α2……αs，β中任意s个向量线性无关．

已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αβT，则A的最大特征值为__________．

A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

已知B是n阶矩阵，满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2,η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T,η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：①AAT的行列式｜AAT｜≠0；②AAT必与n阶单位矩阵等价；③AAT必与一个对角矩阵相似；④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，而A是A的伴随矩阵，则｜A｜等于()

设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=________．

患者男性，24岁，近半年来腹部不适，多次剧烈腹痛，空腹12小时抽血分离血浆呈奶样乳白色，经15000转／分离心30分钟后，发现血浆下层较透明，而表面为奶油层。该患者血浆中哪项脂类成分显著增高

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已知B是n阶矩阵，满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2,η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T,η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设A为n×m实矩阵，且秩r(A)=n，考虑以下命题：①AAT的行列式｜AAT｜≠0；②AAT必与n阶单位矩阵等价；③AAT必与一个对角矩阵相似；④AAT必与n阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为

设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于()

设三阶方阵A、B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则行列式｜B｜=________．

患者男性，24岁，近半年来腹部不适，多次剧烈腹痛，空腹12小时抽血分离血浆呈奶样乳白色，经15000转／分离心30分钟后，发现血浆下层较透明，而表面为奶油层。该患者血浆中哪项脂类成分显著增高

钱某欠张某3万元长期不还。张某不得已将钱某捆绑在自己的空房内。因张某威逼钱某还钱，结果钱某因心脏病突发而死，对张某应当如何处理?

整个房地产的价值为()相加。

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