已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b21,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T,试写出线性方程组 的通解,并说明理由。

admin2018-04-08  30

问题 已知线性方程组

的一个基础解系为(b11,b21,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T,试写出线性方程组

的通解,并说明理由。

选项

答案可记方程组(Ⅰ)An×2n=0,(Ⅱ)Bn×2ny=0,BT的列是(Ⅰ)的基础解系,(Ⅰ),(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A,B,由于B的每一行都是An×2nx=0的解,故ABT=O。故由基础解系的定义知,BT的列向量是线性无关的,因此r(B)=n。从而线性方程组(Ⅱ)的基础解系中含有2n-r(B)=2n-r=n个向量。 对ABT=O两边取转置,有(ABT)T=BAT=O,则有AT的列向量,即A的行向量是By=0的解。 由于线性方程组(Ⅰ)的基础解系中含有n个向量,可知n=2n-r(A),得r(A)=2n-n=n。因 此,A的行向量线性无关。从而AT的列向量是By=0的n个线性无关的解,也即AT的列向量是By=0的基础解系。 综上所述,线性方程组(Ⅱ)的通解为k1ξ1+k2ξ2+…+knξn其中, ξ1=(a11,a21,…,a1,2n)T,ξ2=(a21,a22,…,a2,2n)T,…,ξn=(an1,an2,…,an,2n)T,且k1,k2,…,kn为任意常数。

解析
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