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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b21，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，试写出线性方程组 的通解，并说明理由。
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b21，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T，试写出线性方程组 的通解，并说明理由。
admin
2018-04-08
45
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
，b
21
，…，b
1,2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2,2n
)
T
，…，(b
n1
，b
n2
，…，b
n,2n
)
T
，试写出线性方程组
的通解，并说明理由。
选项
答案
可记方程组(Ⅰ)A
n×2n
=0，(Ⅱ)B
n×2n
y=0，B
T
的列是(Ⅰ)的基础解系，(Ⅰ)，(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A，B，由于B的每一行都是A
n×2n
x=0的解，故AB
T
=O。故由基础解系的定义知，B
T
的列向量是线性无关的，因此r(B)=n。从而线性方程组(Ⅱ)的基础解系中含有2n－r(B)=2n－r=n个向量。 对AB
T
=O两边取转置，有(AB
T
)
T
=BA
T
=O，则有A
T
的列向量，即A的行向量是By=0的解。 由于线性方程组(Ⅰ)的基础解系中含有n个向量，可知n=2n－r(A)，得r(A)=2n－n=n。因 此，A的行向量线性无关。从而A
T
的列向量是By=0的n个线性无关的解，也即A
T
的列向量是By=0的基础解系。 综上所述，线性方程组(Ⅱ)的通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n
ξ
n
其中， ξ
1
=(a
11
，a
21
，…，a
1,2n
)
T
，ξ
2
=(a
21
，a
22
，…，a
2,2n
)
T
，…，ξ
n
=(a
n1
，a
n2
，…，a
n,2n
)
T
，且k
1
，k
2
，…，k
n
为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ulr4777K
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考研数学一
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