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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b21,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T,试写出线性方程组 的通解,并说明理由。
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b21,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T,试写出线性方程组 的通解,并说明理由。
admin
2018-04-08
30
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
,b
21
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
,…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
)
T
,试写出线性方程组
的通解,并说明理由。
选项
答案
可记方程组(Ⅰ)A
n×2n
=0,(Ⅱ)B
n×2n
y=0,B
T
的列是(Ⅰ)的基础解系,(Ⅰ),(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A,B,由于B的每一行都是A
n×2n
x=0的解,故AB
T
=O。故由基础解系的定义知,B
T
的列向量是线性无关的,因此r(B)=n。从而线性方程组(Ⅱ)的基础解系中含有2n-r(B)=2n-r=n个向量。 对AB
T
=O两边取转置,有(AB
T
)
T
=BA
T
=O,则有A
T
的列向量,即A的行向量是By=0的解。 由于线性方程组(Ⅰ)的基础解系中含有n个向量,可知n=2n-r(A),得r(A)=2n-n=n。因 此,A的行向量线性无关。从而A
T
的列向量是By=0的n个线性无关的解,也即A
T
的列向量是By=0的基础解系。 综上所述,线性方程组(Ⅱ)的通解为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n
ξ
n
其中, ξ
1
=(a
11
,a
21
,…,a
1,2n
)
T
,ξ
2
=(a
21
,a
22
,…,a
2,2n
)
T
,…,ξ
n
=(a
n1
,a
n2
,…,a
n,2n
)
T
,且k
1
,k
2
,…,k
n
为任意常数。
解析
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考研数学一
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