(98)已知α1=[1,4,0,2]T,α2=[2,7,1,3]T,α3=[0,1,-1,a]T,β=[3,10,6,4],问: (1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示? (2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式

admin2021-01-19  39

问题 (98)已知α1=[1,4,0,2]T,α2=[2,7,1,3]T,α3=[0,1,-1,a]T,β=[3,10,6,4],问:
(1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示?
(2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式.

选项

答案考虑线性方程组(α1,α2,α3)x=β,其中x=(x1,x2,x3)T,对其增广矩阵[*]=[α1,α2,α3,β] 作初等行变换: [*] 所以 (1)当b≠2时,方程组无解,此时β不能由α1,α2,α3线性表示; (2)当b=2且a≠1时,r(A)=[*]=3,方程组有唯一解: x=(x1,x2,x3)T=(-1,2,0)T, 于是β可唯一表示为β=-α1+2α2; (3)当b=2且a=1时,r(A)=[*]=2,方程组有无穷多个解: x=(x1,x2,x3)T=k(-2,1,1)T+(-1,2,0)T, 其中k为任意常数,这时β可由α1,α2,α3线性表示为 β=-(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3(k为任意常数).

解析
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