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(98)已知α1=[1,4,0,2]T,α2=[2,7,1,3]T,α3=[0,1,-1,a]T,β=[3,10,6,4],问: (1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示? (2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式
(98)已知α1=[1,4,0,2]T,α2=[2,7,1,3]T,α3=[0,1,-1,a]T,β=[3,10,6,4],问: (1)a,b取何值时,β不能由α1,α2,α3线性表示? (2)a,b取何值时,β可由α1,α2,α3线性表示?并写出此表示式
admin
2021-01-19
34
问题
(98)已知α
1
=[1,4,0,2]
T
,α
2
=[2,7,1,3]
T
,α
3
=[0,1,-1,a]
T
,β=[3,10,6,4],问:
(1)a,b取何值时,β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?
(2)a,b取何值时,β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?并写出此表示式.
选项
答案
考虑线性方程组(α
1
,α
2
,α
3
)x=β,其中x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,对其增广矩阵[*]=[α
1
,α
2
,α
3
,β] 作初等行变换: [*] 所以 (1)当b≠2时,方程组无解,此时β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示; (2)当b=2且a≠1时,r(A)=[*]=3,方程组有唯一解: x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=(-1,2,0)
T
, 于是β可唯一表示为β=-α
1
+2α
2
; (3)当b=2且a=1时,r(A)=[*]=2,方程组有无穷多个解: x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=k(-2,1,1)
T
+(-1,2,0)
T
, 其中k为任意常数,这时β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示为 β=-(2k+1)α
1
+(k+2)α
2
+kα
3
(k为任意常数).
解析
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0
考研数学二
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