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(2001年试题,七)设函数f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求
(2001年试题,七)设函数f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求
admin
2019-08-01
57
问题
(2001年试题,七)设函数f(x),g(x)满足f
’
(x)=g(x),g
’
(x)=2e
x
一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求
选项
答案
由题设已知[*]此为关于f(x),g(x)的一阶常系数线性方程组,由式(1)两边对x求导,得f
’’
(x)=g
’
(x),将其代入式(2)中,得:f
’
(x)+f(x)=2e
x
此为关于f(x)的二阶常系数线性非齐次方程,先求其齐次方程的通解,由特征方程λ
2
+1=0,可求得特征值为λ
1
=i,λ
2
=一i,因此齐次方程通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx,设原方程特解为y
*
=Ae
x
,代入原方程得A=1,从而y
*
=e
x
,所以原方程有通解y=C
1
cosx+C
2
sinx+e
x
又由初始条件f(0)=0及f
’
(0)=g(0)=2,可求出C
1
=一1,C
2
=1,所以f(x)=一cosx+sinx+e
x
,g(x)=cosx+sinx+e
x
下面求定积分[*]
解析
上面计算定积分的过程中,也可先对后一部分进行分部积分,但与上面解法一样,无需将f(x)与g(x)的表达式代入被积函数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kPN4777K
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考研数学二
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