2. 考研
  3. 设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}．证明： (1)sup(A+B)=supA+supB； (2)inf(A+B)=infA+infB．

设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}．证明： (1)sup(A+B)=supA+supB； (2)inf(A+B)=infA+infB．

admin2022-10-31  51
问题 设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}．证明：
    (1)sup(A+B)=supA+supB；
    (2)inf(A+B)=infA+infB．
选项
答案由于A、B有界，所以A+B也有界，由确界原理知集合A，B及A+B的上、下确界均存在且有限． (1)对[*]c∈A+B，存在a∈A，b∈B，使得c=a+b，设supA=η1，supB=η2，则a≤η1，b≤η2，从而c≤η1+η2．因此η1+η2是A+B的一个上界． 对[*]ε＞0，[*]a0∈A，b0∈B，使得a0＞η1-[*]．b0＞η2-[*]．于是a0+b0＞(η1+η2)-ε且(a0+b0)∈(A+B)，故sup(A+B)=η1+η2=supA+supB． (2)同理可证inf(A+B)=infA+infB．
解析
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考研数学一

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