设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}．证明： (1)sup(A+B)=supA+supB； (2)inf(A+B)=infA+infB．

admin2022-10-31 39

问题设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}．证明：
(1)sup(A+B)=supA+supB；
(2)inf(A+B)=infA+infB．

选项

答案由于A、B有界，所以A+B也有界，由确界原理知集合A，B及A+B的上、下确界均存在且有限． (1)对[*]c∈A+B，存在a∈A，b∈B，使得c=a+b，设supA=η₁，supB=η₂，则a≤η₁，b≤η₂，从而c≤η₁+η₂．因此η₁+η₂是A+B的一个上界．对[*]ε＞0，[*]a₀∈A，b₀∈B，使得a₀＞η₁-[*]．b₀＞η₂-[*]．于是a₀+b₀＞(η₁+η₂)-ε且(a₀+b₀)∈(A+B)，故sup(A+B)=η₁+η₂=supA+supB． (2)同理可证inf(A+B)=infA+infB．

解析

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