2. 公务员
  3. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且AA1=2AB，则CD与半面BDC1所成角的正弦值等于( )．

已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且AA1=2AB，则CD与半面BDC1所成角的正弦值等于( )．

admin2019-12-10  97
问题 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且AA1=2AB，则CD与半面BDC1所成角的正弦值等于(    )．
选项 A、2/3
B、/3
C、/3
D、1/3
答案A
解析 如图所示，连接底面正方形对角线AC、BD，其交点为O，连接OC1，BC1，DC1，作CH⊥OC1于H，连接HD因为O是底面的中点，所以CO⊥BD，又因为CC1⊥底面ABCD，故CC1⊥BD，而CC1∩OC=C，则BD⊥面OCC1，所以CH⊥BD
又因为CH⊥OC1，OC1∩CH=H，OC1∩BD=O，所以CH⊥面BDC1，故∠CHD=90°，且∠CDH就是CD与面BDC1的夹角．设AB=BC=CD=1，则AA1=2，，△OCC1的面积一定，故，sin∠CDH=CH/CD=2/3，所以CD与面BDC1所成角的正弦值为2/3．
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