2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，又 f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0， 且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内

设f(x)在[a，b]上可导，又 f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0， 且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内

admin2015-04-30  27
问题 设f(x)在[a，b]上可导，又
    f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，
    且∫abf(t)dt=0，则∫axf(t)dt在(a，b)内
选项 A、恒为零．
B、恒为正．
C、恒为负．
D、可变号．
答案A
解析 令F(x)=∫axf(t)dt，则F(a)=F(b)=0，所给条件变为
    F"(x)+[F’(x)]2—F(x)=0．    (*)
若F(x)在(a，b)不恒为零，则F(x)在(a，b)取正的最大值或负的最小值．设F(x0)=＞0，则x0∈(a，b)，F’(x0)=0，F"(x0)≤0→F"(x0)+[F’(x0)]2一F(x0)＜0．与(*)矛盾．同理，若F(x1)=＜0，则同样得矛盾．因此F(x)≡0(x∈(a，b))．故应选A．
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考研数学二

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