设方程组AX=β有解但不唯一. (1)求a; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵; (3)求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

admin2017-09-15  41

问题方程组AX=β有解但不唯一.
    (1)求a;
    (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵;
    (3)求正交阵Q,使得QTAQ为对角阵.

选项

答案(1)因为方程组AX=β有解但不唯一,所以|A|=0,从而a=-2或a=1. 当a=-2时, [*] r(A)=r([*])=2<3,方程组有无穷多解; 当a=1时, [*] r(A)=1<r([*]),方程组无解,故a=-2. (2)由|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0,λ2=3,λ3=-3. 由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=[*]; 由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=[*]; 由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为 [*]

解析
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