2. 考研
  3. 设方程组AX＝β有解但不唯一． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

设方程组AX＝β有解但不唯一． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵； (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

admin2017-09-15  77
问题 设方程组AX＝β有解但不唯一．
    (1)求a；
    (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；
    (3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．
选项
答案(1)因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1． 当a＝－2时， [*] r(A)＝r([*])＝2＜3，方程组有无穷多解； 当a＝1时， [*] r(A)＝1＜r([*])，方程组无解，故a＝－2． (2)由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3． 由(0E－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关的特征向量为ξ1＝[*]； 由(3E－A)X＝0得λ2＝3对应的线性无关的特征向量为ξ2＝[*]； 由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为 [*]
解析
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考研数学二

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