设A=αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，Ak=(βTα)k-1A=(tr(A))k-1A． (tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

admin2017-10-21 53

问题设A=αβ^T，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，A^k=(β^Tα)^k-1A=(tr(A))^k-1A．
(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

选项

答案A^k=(αβ^T)^k=αβ^Tαβ^T…αβ^Tαβ^T=α(βα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T=(β^Tα)^k-1A． β^Tα=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，而a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n正好是A=αβ^T的对角线上各元素，于是β^Tα=tr(A)，A^k=(tr(A))^k-1A．

解析

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考研数学三

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