2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．

admin2017-05-31  11
问题 设f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求证：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．
选项
答案要证f(x)＞0 <=> exf(x)＞0 (x＞0)． 由exf(x)在[0，+∞)可导且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0 (x＞0) => exf(x)在[0，+∞)单调上升 =>exf(x)＞exf(x)｜x=0=0 (x＞0) => f(x)＞0 (x＞0)．
解析
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考研数学二

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