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设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )
设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )
admin
2020-07-03
33
问题
设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y
1
(x)，y
2
(x)，y
3
(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C
1
，C
2
是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )
选项
A、C
1
y
1
+ (C
2
－C
1
) y
2
－(1+ C
2
) y
3
．
B、(C
1
－C
2
)y
1
+( C
2
－1) y
2
+(1－C
1
) y
3
．
C、(C
1
+C
2
) y
1
+(C
1
－C
2
)y
2
+(1－C
1
) y
3
．
D、C
1
y
1
+ C
2
y
2
+(1－C
1
－C
2
) y
3
．
答案
D
解析
实际上有下述定理．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0，考虑下述两个方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y= f(x) (*)
及对应的齐次方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y=0 (**)
①设y
1
(x)，y
2
(x)，y
3
(x)是(*)的3个解，A，B，C为常数．并设
y=A y
1
(x)+B y
2
(x)+Cy
3
(x)． (***)
则(***)是(*)的解的充要条件是
A+B+C=1；
式(***)是(**)的解的充要条件是
A+B+C=0．
②设y
1
(x)，y
2
(x)，y
3
(x)是(*)的3个线性无关的解，A，B，C中两个为任意常数．
则(***)是(*)的通解的充要条件是
A+B+C=1；
式(***)是(**)的通解的充要条件是
A+B+C=0．
本题用到上述②．验算上述y
1
，y
2
，y
3
的系数之和，D的系数之和为C
1
+C
2
+(1－C
1
－C
2
)=1．所以D是通解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vQ84777K
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考研数学二
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