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设p(x),q(x),f(x)≠0均是关于x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )
设p(x),q(x),f(x)≠0均是关于x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )
admin
2020-07-03
61
问题
设p(x),q(x),f(x)≠0均是关于x的已知连续函数,y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C
1
,C
2
是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )
选项
A、C
1
y
1
+ (C
2
-C
1
) y
2
-(1+ C
2
) y
3
.
B、(C
1
-C
2
)y
1
+( C
2
-1) y
2
+(1-C
1
) y
3
.
C、(C
1
+C
2
) y
1
+(C
1
-C
2
)y
2
+(1-C
1
) y
3
.
D、C
1
y
1
+ C
2
y
2
+(1-C
1
-C
2
) y
3
.
答案
D
解析
实际上有下述定理.设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0,考虑下述两个方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y= f(x) (*)
及对应的齐次方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y=0 (**)
①设y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是(*)的3个解,A,B,C为常数.并设
y=A y
1
(x)+B y
2
(x)+Cy
3
(x). (***)
则(***)是(*)的解的充要条件是
A+B+C=1;
式(***)是(**)的解的充要条件是
A+B+C=0.
②设y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是(*)的3个线性无关的解,A,B,C中两个为任意常数.
则(***)是(*)的通解的充要条件是
A+B+C=1;
式(***)是(**)的通解的充要条件是
A+B+C=0.
本题用到上述②.验算上述y
1
,y
2
,y
3
的系数之和,D的系数之和为C
1
+C
2
+(1-C
1
-C
2
)=1.所以D是通解.
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