2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )

设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )

admin2020-07-03  36
问题 设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y″+ p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是    (    )
选项 A、C1y1+ (C2－C1) y2－(1+ C2) y3．
B、(C1－C2)y1+( C2－1) y2+(1－C1) y3．
C、(C1+C2) y1+(C1－C2)y2+(1－C1) y3．
D、C1y1+ C2y2+(1－C1－C2) y3．
答案D
解析 实际上有下述定理．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0，考虑下述两个方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y= f(x)    (*)
及对应的齐次方程
y″+p(x)yˊ+q(x)y=0    (**)
①设y1(x)，y2(x)，y3(x)是(*)的3个解，A，B，C为常数．并设
y=A y1(x)+B y2(x)+Cy3(x)．    (***)
则(***)是(*)的解的充要条件是
A+B+C=1；
式(***)是(**)的解的充要条件是
A+B+C=0．
②设y1(x)，y2(x)，y3(x)是(*)的3个线性无关的解，A，B，C中两个为任意常数．
则(***)是(*)的通解的充要条件是
A+B+C=1；
式(***)是(**)的通解的充要条件是
A+B+C=0．
本题用到上述②．验算上述y1，y2，y3的系数之和，D的系数之和为C1+C2+(1－C1－C2)=1．所以D是通解．
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考研数学二

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