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  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

admin2016-09-12  46
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．
选项
答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值， 在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0； 在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0； 在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2． 由[*]=6x2-24x=0得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值为-64，最大值为0． (2)在区域D内，由[*]得驻点为(2，1)， [*] 因为AC-B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4， 故z=f(x，y)在D上的最小值为m=(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4．
解析
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考研数学二

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