首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(I)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)<0,(a<c<b).证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)>0; (Ⅱ)设h>0,f(x)在[a-h,a+h]上连续,在(a-h,a+h
(I)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)<0,(a<c<b).证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)>0; (Ⅱ)设h>0,f(x)在[a-h,a+h]上连续,在(a-h,a+h
admin
2019-02-20
63
问题
(I)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)<0,(a<c<b).证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使f"(ξ)>0;
(Ⅱ)设h>0,f(x)在[a-h,a+h]上连续,在(a-h,a+h)内可导,证明:存在0<θ<1使得
选项
答案
(I)由于a<c<b,由已知条件可知f(x)在[a,c]与[c,b]上都满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在点ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使 f(c)-f(a)=f’(ξ
1
)(c-a), ξ
1
∈(a,c); f(b)-f(c)=f’(ξ
2
)(b-c), ξ
2
∈(c,b). 由于f(a)=f(b)=0,于是有 f(c)=f’(ξ
1
)(c-a), ① -f(c)=f’(ξ
2
)(b-c). ② 由于c-a>0,b-c>0,f(c)<0,因此由式①、②可知 f’(ξ
1
)<0,f’(ξ
2
)>0. 由已知条件知f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使 [*] (Ⅱ)令F(x)=f(a+x)+f(a-x),则F(x)在[0,h]上连续,在(0,h)内可导,由拉格朗日中值定理可得存在θ∈(0,1)使得 [*] 由于 F(h)-F(0)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a), F’(x)=f’(a+x)-f’(a-x), F’(θh)=f’(a+θh)-f’(a-θh), 因此存在满足0<θ<1的θ使得 [*]
解析
(I)证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)=0常可考虑利用罗尔定理,而证明在某区间内存在一点ξ使得f’(ξ)>0常可考虑利用拉格朗日中值定理.
(Ⅱ)分析:在[a,a+h]和[a-h,a]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在θ
1
,θ
2
∈(0,1)使得
f(a+h)-f(a)=f’(a+θ
1
h)h, f(a-h)-f(a)=-f’(a-θ
2
h)h,
这时有
然而θ
1
与θ
2
未必相等.若将f(a+h)-2f(a)+f(a-h)重新组合成
f(a+h)-2f(a)+f(a-h)=[f(a+h)+f(a-h)]-[f(a+0)+f(a-0)],
我们发现它是F(x)=f(a+x)+f(a-x)在点x=h的值减去在点x=0的值,并且f’(a+θh)-f’(a-θh)=F’(θh),要证的等式就是对F(x)在[0,h]上应用拉格朗日中值定理的结果.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vTP4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
曲线y=【】
设m,n均是正整数,则反常积分的收敛性()
已知级数条件收敛,则常数p的取值范围是
设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a,b,c满足什么条件时,aα1-α2,bα2-α3,cα3-α1线性相关?
D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域,则(1+x)sinydσ________。
设x=rcosθ,y=rsinθ,将极坐标下的累次积分转换成直角坐标系下的累次积分:dθ∫12cosθf(rcosθ,rsinθ)rdr=_________.
设φ(x)=,又f(x)在点x=0处可导,求F(x)=f[φ(x)]的导数.
若y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解,试用y1,y2,y3表达方程(1)的通解.y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x)(1)
设f(x)=(Ⅰ)求f’(x);(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?
随机试题
下列行为中构成专利侵权的是()。
从造字法来看,“明”是_____字。
女,65岁,因头痛、右侧肢体无力7天入院。胸片:右肺可见圆形病灶,头部CT提示脑转移瘤,肿瘤周围脑水肿明显。本例瘤周水肿系
某研究者收集了2种疾病患者痰液内嗜酸性粒细胞的检查结果,整理成下表:若要比较2种疾病患者痰液内的嗜酸性粒细胞数是否有差别应选择
在下列关于财务管理“引导原则”的说法中,错误的是()。
关于老年人的权益,尤其是精神方面的保护,最近进行了立法,谈谈对这一问题的看法。
关于香港特别行政区的政府,说法正确的有()。
Whyare"HowTo"booksingreatdemandintheUnitedStates?
Whatistherelationshipbetweenthetwopersons?
A—thechiefcoachB—thechiefrefereeC—thedefenderD—centreforwardE—thesecon
最新回复
(
0
)