设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的 (1)充分条件是α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价. (2)充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,β

admin2017-10-19  27

问题 设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的
    (1)充分条件是α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价.
    (2)充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价.

选项

答案(1)如果α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价,则 r(α1,α2,…,αm)=r(β1,β2,…,βm). 由于α1,α2,…,αm线性无关,r(α1,α2,…,αm)=m,所以β1,β2,…,βm线性无关,故充分性成立. (2)必要性.若β1,β2,…,βm线性无关,则r(α1,α2,…,αm)=r(β1,β2,…,βm)=m. 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩,所以r(A)=r(B),又A与B均为n×m矩阵,故A与B等价. 充分性.若A与B等价,则r(A)=r(B),因为α1,α2,…,αm线性无关,有r(A)=m. 于是r(β1,β2,…,βm)=m,所以β1,β2,…,βm线性无关.

解析
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