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设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的 (1)充分条件是α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价. (2)充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,β
设n维向量α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,证明:n维向量β1,β2,…,βm线性无关的 (1)充分条件是α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm等价. (2)充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,β
admin
2017-10-19
47
问题
设n维向量α
1
,α
2
,…,α
m
(m<n)线性无关,证明:n维向量β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关的
(1)充分条件是α
1
,α
2
,…,α
m
与β
1
,β
2
,…,β
m
等价.
(2)充要条件是矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
m
)与矩阵B=(β
1
,β
2
,…,β
m
)等价.
选项
答案
(1)如果α
1
,α
2
,…,α
m
与β
1
,β
2
,…,β
m
等价,则 r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(β
1
,β
2
,…,β
m
). 由于α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=m,所以β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,故充分性成立. (2)必要性.若β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关,则r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m. 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩,所以r(A)=r(B),又A与B均为n×m矩阵,故A与B等价. 充分性.若A与B等价,则r(A)=r(B),因为α
1
,α
2
,…,α
m
线性无关,有r(A)=m. 于是r(β
1
,β
2
,…,β
m
)=m,所以β
1
,β
2
,…,β
m
线性无关.
解析
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0
考研数学三
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