设n阶矩阵A的秩为1，证明： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．

admin2016-09-19 66

问题设n阶矩阵A的秩为1，证明：
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
(2)存在数μ，对任意正整数k，有A^k=μ^k－1A．

选项

答案(1)将A以列分块，则r(A)=r(α₁，α₂，…，α_n)=1表明列向量组α₁，α₂，…，α_n的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为α_i=[a₁，a₂，…，a_n]^T(a_i≠0)，其余列向量均可由a_i线性表出，设为a_i=b_ja_i(j=1，2，…，n；j=i时，取b_i=1)，则 A=[α₁，α₂，…，α_n]=[b₁α_i，b₂α_i，b_nα_i]=α_i[b₁，b₂，…，b_n]=[*] [b₁，b₂，…，b_n]． (2)记α=α_i=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T，则 A=αβ^T，A^k(αβ^T)^k(αβ^T)(αβ^T)…(αβ^T)=α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T．记β^Tα=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=μ，则 A^k=αμ^k－1β^T=μ^k－1A．

解析

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考研数学三

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