2. 考研
  3. 设n阶矩阵A的秩为1，证明： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．

设n阶矩阵A的秩为1，证明： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．

admin2016-09-19  59
问题 设n阶矩阵A的秩为1，证明：
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
(2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．
选项
答案(1)将A以列分块，则r(A)=r(α1，α2，…，αn)=1表明列向量组α1，α2，…，αn的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为αi=[a1，a2，…，an]T(ai≠0)，其余列向量均可由ai线性表出，设为ai=bjai(j=1，2，…，n；j=i时，取bi=1)，则 A=[α1，α2，…，αn]=[b1αi，b2αi，bnαi]=αi[b1，b2，…，bn]=[*] [b1，b2，…，bn]． (2)记α=αi=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T，则 A=αβT，Ak(αβT)k(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT． 记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ，则 Ak=αμk－1βT=μk－1A．
解析
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考研数学三

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