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设n阶矩阵A的秩为1，证明： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．
设n阶矩阵A的秩为1，证明： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在数μ，对任意正整数k，有Ak=μk－1A．
admin
2016-09-19
56
问题
设n阶矩阵A的秩为1，证明：
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
(2)存在数μ，对任意正整数k，有A
k
=μ
k－1
A．
选项
答案
(1)将A以列分块，则r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=1表明列向量组α
1
，α
2
，…，α
n
的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为α
i
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
(a
i
≠0)，其余列向量均可由a
i
线性表出，设为a
i
=b
j
a
i
(j=1，2，…，n；j=i时，取b
i
=1)，则 A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]=[b
1
α
i
，b
2
α
i
，b
n
α
i
]=α
i
[b
1
，b
2
，…，b
n
]=[*] [b
1
，b
2
，…，b
n
]． (2)记α=α
i
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
，则 A=αβ
T
，A
k
(αβ
T
)
k
(αβ
T
)(αβ
T
)…(αβ
T
)=α(β
T
α)(β
T
α)…(β
T
α)β
T
． 记β
T
α=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=μ，则 A
k
=αμ
k－1
β
T
=μ
k－1
A．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vVT4777K
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考研数学三
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[*]
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