A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.

admin2016-10-21  47

问题 A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价:
    (1)(A-aE)(A-bE)=0.
    (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n.
    (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.

选项

答案不妨设a和b都是A的特征值.(因为如果a不是A的特征值,则3个断言都推出A=bE.如果b不是A的特征值,则3个断言都推出A=aE.) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质,由(A-aE)(A-bE)=0.得到: r(A-aE)+r(A-bE)≤n, r(A-aE)+r(A-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n, 从而r(A-aE)+r(A-bE)=n. (2)[*](3) 记ka,kb分别是a,b的重数,则有 ka≥n-r(A-aE)① kb≥n-r(A-bE)② 两式相加得n≥ka+kb≥n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n,于是其中“≥”都为“=”,从而①和②都是等式,并且ka+kb=n. k+k=n,说明A的特征值只有a和b,它们都满足(λ-a)(λ-b)=0. ①和②都是等式,说明A相似于对角矩阵. (3)[*](1) A的特征值满足(λ-a)(λ-b)=0,说明A的特征值只有a和b.设B是和A相似的对角矩阵,则它的对角线上的元素都是a或b,于是(B-aE)(B-bE)=0.而(A-aE)(A-aE)相似于(A-bE)(B-bE),因此(A-aE)(A-bE)=0.

解析
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