2. 考研
  3. A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价： (1)(A－aE)(A－bE)＝0． (2)r(A－aE)＋r(A－bE)＝n． (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)＝0．

A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价： (1)(A－aE)(A－bE)＝0． (2)r(A－aE)＋r(A－bE)＝n． (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)＝0．

admin2016-10-21  61
问题 A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：
    (1)(A－aE)(A－bE)＝0．
    (2)r(A－aE)＋r(A－bE)＝n．
    (3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ－a)(λ－b)＝0．
选项
答案不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A＝bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A＝aE．) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质，由(A－aE)(A－bE)＝0．得到： r(A－aE)＋r(A－bE)≤n， r(A－aE)＋r(A－bE)≥r((A－aE)－(A－bE))＝r((b－a)E)＝n， 从而r(A－aE)＋r(A－bE)＝n． (2)[*](3) 记ka，kb分别是a，b的重数，则有 ka≥n－r(A－aE)① kb≥n－r(A－bE)② 两式相加得n≥ka＋kb≥n－r(A－aE)＋n－r(A－bE)＝n，于是其中“≥”都为“＝”，从而①和②都是等式，并且ka＋kb＝n． k＋k＝n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ－a)(λ－b)＝0． ①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵． (3)[*](1) A的特征值满足(λ－a)(λ－b)＝0，说明A的特征值只有a和b．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B－aE)(B－bE)＝0．而(A－aE)(A－aE)相似于(A－bE)(B－bE)，因此(A－aE)(A－bE)＝0．
解析
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考研数学二

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