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设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c;存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c;存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
admin
2022-09-23
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问题
设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c;存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
选项
答案
令φ(x)=f(x)-1+2x,φ(0)=-1,φ(1)=2,因为φ(0)φ(1)<0,所以存在c∈(0,1),使得φ(c)=0,于是f(c)=1-2c.因为f(x)∈c[0,2],所以f(x)在[0,2]上取到最小值m和最大值M,由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6≤M,由介值定理,存在ξ∈[0,2],使得[2f(0)+f(1)+3f(2)]/6=f(ξ),于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).
解析
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考研数学三
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