在xOy坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形．

admin2017-07-26 58

问题在xOy坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形．

选项

答案如图1—9—1，设此曲线方程为y=y(x)，过此曲线上任意一点P(x，y)的切线为 Y—y=y’(x)(X—x)． [*] 根据题意，它与Oy坐标轴的交点为A(0，y—xy’)，使得△AOP为等腰三角形．若｜OP｜=｜AP｜，此时有[*]，这不仅可作为分离变量的微分方程，也可作为齐次微分方程．通解为xy=c，其中c为任意常数．(注意：[*]的解并不符合题意．) 若｜OA｜=｜OP｜，此时有｜y—xy’｜=[*]=cx²，其中c为任意常数．若｜OA｜=｜AP｜，此时有｜y—xy’｜=[*]，这是齐次微分方程．通解为x²+y²=cx，其中c为任意常数．

解析本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程，并求其通解．

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考研数学三

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在xOy坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向径及Oy坐标轴一起构成一个等腰三角形．

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[*]

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