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假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=,求:(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z);(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=,求:(Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z);(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).
admin
2016-10-20
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问题
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=
,求:(Ⅰ)Z=XY的概率密度f
Z
(z);(Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度f
V
(v).
选项
答案
(Ⅰ)依题意P{Y=-1}=[*],X~N(0,1)且X与Y相互独立,于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z}Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z}Y=1} =P{Y=-1}P{-X≤z|Y=-1}+P=1}P{X≤z|Y=1}. =P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布,其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=|X-Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数F
V
(v)=P{|X-Y|≤v}=0; 当v≥0时, F
V
(v)=P{-v≤X-Y≤v} =P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v|Y=-1} +P{yY=1}P{-v≤X-Y≤v|Y=1} [*] 由于F
V
(v)是连续函数,且除个别点外,导数存在,因此V的概率密度为 [*]
解析
由于Y为离散型随机变量,X与Y独立,因此应用全概率公式可得分布函数,进而求得概率密度.
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考研数学三
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