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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1)T=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解; (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=L; (Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)6,其中E为三阶
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a1=(-1,2,-1)T=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解; (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=L; (Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)6,其中E为三阶
admin
2013-09-29
77
问题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a
1
=(-1,2,-1)
T
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解;
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=L;
(Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)
6
,其中E为三阶单位矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)依题意,因为A=[*] 所以3是矩阵A的一个特征值,a=(1,1,1)
T
是A属于3的特征向量, 又因为Aa
1
=0=0Aa
1
,Aa
2
=0=0a
2
,所以a
1
,a
2
是矩阵A属于λ=0的特征向量, 所以A的特征值是3、0、0,且λ=0的特征向量为 k
1
(-1,2,-1)
T
+后:(0,-1,1)
T
(k
1
,k
2
是不全为0的常数), λ=3的特征向量为k=(1,1,1)
T
(k≠0为常数). (Ⅱ)由于a
1
,a
2
不正交,所以要做Schmidt正交化: β
1
=a
1
=(-1,2,-1)
T
[*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*] (Ⅲ)由A(a
1
,a
2
,a)=(0,0,3a),有 A=(0,0,3a)(a
1
,a
2
,a)
-1
=[*] 记[*] 则P
-1
BP=[*],将其记为A
1
,其中P=(a
1
,a
2
,a), 所以B
6
=PA
1
6
P
-1
=(3/2)
6
=(3/2)
6
E.
解析
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考研数学三
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