2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解； (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=L； (Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)6，其中E为三阶

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解； (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=L； (Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)6，其中E为三阶

admin2013-09-29  137
问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解；
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=L；
(Ⅲ)求A及(A- (3/2)E)6，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案(Ⅰ)依题意，因为A=[*] 所以3是矩阵A的一个特征值，a=(1，1，1)T是A属于3的特征向量， 又因为Aa1=0=0Aa1，Aa2=0=0a2，所以a1，a2是矩阵A属于λ=0的特征向量， 所以A的特征值是3、0、0，且λ=0的特征向量为 k1(-1，2，-1)T+后：(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)， λ=3的特征向量为k=(1，1，1)T(k≠0为常数)． (Ⅱ)由于a1，a2不正交，所以要做Schmidt正交化： β1=a1=(-1，2，-1)T [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*] (Ⅲ)由A(a1，a2，a)=(0，0，3a)，有 A=(0，0，3a)(a1，a2，a)-1=[*] 记[*] 则P-1BP=[*]，将其记为A1，其中P=(a1，a2，a)， 所以B6=PA16P-1=(3/2)6=(3/2)6E．
解析
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考研数学三

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