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  3. 已知向量组(I)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(I)=秩(Ⅱ)，证明：向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价．

已知向量组(I)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(I)=秩(Ⅱ)，证明：向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价．

admin2016-12-09  22
问题 已知向量组(I)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(I)=秩(Ⅱ)，证明：向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价．
选项
答案设秩(I)=秩(Ⅱ)=r，且α1,α2……αr，与β1β2……βr分别为组(I)和组(Ⅱ)的极大线性无关组． 作向量组(Ⅲ)：α1,α2……αr，β1β2……βr．下证α1,α2……αr与β1β2……βr均为组(Ⅲ)的极大线性无关组． 因组(I)能由组(Ⅱ)线性表出，故α1,α2……αr，也能由β1β2……βr线性表出，从而组(Ⅲ)能由β1β2……βr线性表出，又β1β2……βr线性无关，故β1β2……βr为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，从而秩(Ⅲ)=r，所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故α1,α2……αr与β1β2……βr等价． 显然组(I)与α1,α2……αr等价，组(Ⅱ)与β1β2……βr等价，故组(I)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性)．
解析
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考研数学二

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