求微分方程y"－y=excos2x的一个特解。

admin2018-12-27 67

问题求微分方程y"－y=e^xcos2x的一个特解。

选项

答案这是二阶常系数非齐次线性方程，且f(x)属e^λx[P_l^(x)(x)coswx+P_n⁽²⁾(x)sinwx]型，其中λ=1，w=2，P_l⁽¹⁾(x)=1，P_n⁽²⁾(x)=0。对应齐次方程的特征方程为λ－1=0，解得λ₁=1，λ₂=－1。由于λ+iw=1+2i不是特征方程的根，所以设特解为 y^*=e^x(acos2x+bsin2x)。求导得 (y^*)’=e^x[(a+2b)cos2x+(－2a+b)sin2x]， (y^*)"=e^x[(－3a+4b)cos2x+(－4a－3b)sin2x]，代入所给方程，得 4e^x[(－a+b)cos2x－(a+b)sin2x]=e^xcos2x，比较两端同类项的系数，有 [*] 因此所给方程的一个特解为 [*]

解析

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