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设f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程,求f(x)及该全微分方程的通解.
设f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程,求f(x)及该全微分方程的通解.
admin
2019-07-22
44
问题
设f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f’(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为全微分方程,求f(x)及该全微分方程的通解.
选项
答案
令P(x,y)=xy(x+y)-f(x)y,Q(x,y)=f’(x)+x
2
y,因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0为全微分方程,所以[*],即f"(x)+f(x)=x
2
, 解得f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
-2,由f(0)=0,f’(0)=1得C
1
=2,C
2
=1, 所以f(x)=2cosx+sinx+x
2
-2. 原方程为[xy
2
-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy=0,整理得(xy
2
dx+x
2
ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0, 即d([*]x
2
y
2
+2xy-2ysinx+ycosx)=0, 原方程的通解为[*]x
2
y
2
+2xy-2ysinx+ycosx=C.
解析
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考研数学二
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