2. 考研
  3. 设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2021-08-05  50
问题 设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由麦克劳林公式 [*] 当x→0时，y(x)与x3同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y”(0)=0，y”’(0)=C，其中c为非零常数， 由这些初值条件，现将方程y(4)一y”=0两边积分得 ∫0xy(4)dt—∫0xy”(t)dt=0 即y”’(x)一C—y’(x)=0．两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx． 易知，上述方程有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e—x—Cx． 由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1—C2=C，即C1=C/2，C2=C/2． 故y=[*]，其中C为非零常数．
解析
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考研数学二

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