设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2021-08-05 27

问题设y(x)是方程y⁽⁴⁾一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

选项

答案由麦克劳林公式 [*] 当x→0时，y(x)与x³同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y”(0)=0，y”’(0)=C，其中c为非零常数，由这些初值条件，现将方程y⁽⁴⁾一y”=0两边积分得 ∫₀^xy⁽⁴⁾dt—∫₀^xy”(t)dt=0 即y”’(x)一C—y’(x)=0．两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx．易知，上述方程有特解y^*=一Cx，因此它的通解是y=C₁e^x+C₂e^—x—Cx．由初值y(0)=0，y’(0)=0得C₁+C₂=0，C₁—C₂=C，即C₁=C/2，C₂=C/2．故y=[*]，其中C为非零常数．

解析

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