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设y(x)是方程y(4)一y”=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
设y(x)是方程y(4)一y”=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
admin
2021-08-05
54
问题
设y(x)是方程y
(4)
一y”=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).
选项
答案
由麦克劳林公式 [*] 当x→0时,y(x)与x
3
同阶,则y(0)=0,y’(0)=0,y”(0)=0,y”’(0)=C,其中c为非零常数, 由这些初值条件,现将方程y
(4)
一y”=0两边积分得 ∫
0
x
y
(4)
dt—∫
0
x
y”(t)dt=0 即y”’(x)一C—y’(x)=0.两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx. 易知,上述方程有特解y
*
=一Cx,因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
—x
—Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得C
1
+C
2
=0,C
1
—C
2
=C,即C
1
=C/2,C
2
=C/2. 故y=[*],其中C为非零常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wPy4777K
0
考研数学二
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