设y(x)是方程y(4)一y”=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

admin2021-08-05  31

问题 设y(x)是方程y(4)一y”=0的解,且当x→0时,y(x)是x的3阶无穷小,求y(x).

选项

答案由麦克劳林公式 [*] 当x→0时,y(x)与x3同阶,则y(0)=0,y’(0)=0,y”(0)=0,y”’(0)=C,其中c为非零常数, 由这些初值条件,现将方程y(4)一y”=0两边积分得 ∫0xy(4)dt—∫0xy”(t)dt=0 即y”’(x)一C—y’(x)=0.两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx. 易知,上述方程有特解y*=一Cx,因此它的通解是y=C1ex+C2e—x—Cx. 由初值y(0)=0,y’(0)=0得C1+C2=0,C1—C2=C,即C1=C/2,C2=C/2. 故y=[*],其中C为非零常数.

解析
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