设f(x)在[a，x0)上单调，则极限f(x)存在的充要条件是f在[a,x0)上有界．

admin2022-10-31 47

问题设f(x)在[a，x₀)上单调，则极限

f(x)存在的充要条件是f在[a,x₀)上有界．

选项

答案必要性若[*]f(x)存在,则由函数极限的局部有界性，[*]δ₀＞0，使得f(x)在U₊⁰(x₀;δ₀)内有界，而在[a,x₀-δ₀](不妨设a＜x₀-δ₀)上f(x)是单调函数，于是对[*]x∈[a,x₀-δ₀]，｜f(x)｜≤max{｜f(a)｜．｜f(x₀-δ₀｜}。由此知f在[a．x₀)上有界．亢分性若函数f在[a，x₀)上有上界，因为f在[a，x₀)上单调，由函数极限的单调有界定理知，[*]f(x)存在．

解析

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