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  3. [2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

admin2019-06-25  50
问题 [2001年]  设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型
            
二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案首先应注意，因合同变换不改变二次型的正惯性指数及负惯性指数，因而合同变换不改变二次型的规范形，即当两个二次型f(X)与g(X)的矩阵合同时，二次型f(X)与g(X)有相同的规范形．基于此，有下面三种方法证明f(X)与g(X)有相同的规范形． 解一 证f(X)与g(X)的矩阵合同．事实上，存在可逆矩阵A-1，使 (A-1)TAA-1=(A-1)T=(AT)-1=A-1． 于是g(X)=XTAX与f(X)=XTA-1X有相同的规范形． 解二 对二次型g(X)=XTAX作可逆的线性变换X=A-1Y，其中Y=[y1，y2，…，yn]T， 则g(X)=XTAX=(A-1Y)TAA-1Y=YT(A-1)TAA-1y=YTA-1Y．由此可知，A与A-1合同，则f(X)与g(X)必有相同的规范形． 解三 设A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则A-1的全部特征值为1／λ1，1／λ2，…，1／λn．可见A与A-1的特征值中正与负的项数分别相同，因而二次型f(X)=XTA-1X与g(X)=XTAX的标准形中系数为正与负的项数分别相同，从而f(X)与g(X)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形．
解析
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考研数学三

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