[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

admin2019-06-25 58

问题 [2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=[a_ij]_n×n中元素a_ij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型

二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案首先应注意，因合同变换不改变二次型的正惯性指数及负惯性指数，因而合同变换不改变二次型的规范形，即当两个二次型f(X)与g(X)的矩阵合同时，二次型f(X)与g(X)有相同的规范形．基于此，有下面三种方法证明f(X)与g(X)有相同的规范形．解一证f(X)与g(X)的矩阵合同．事实上，存在可逆矩阵A^-1，使 (A^-1)^TAA^-1=(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1．于是g(X)=X^TAX与f(X)=X^TA^-1X有相同的规范形．解二对二次型g(X)=X^TAX作可逆的线性变换X=A^-1Y，其中Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T，则g(X)=X^TAX=(A^-1Y)^TAA^-1Y=Y^T(A^-1)^TAA^-1y=Y^TA^-1Y．由此可知，A与A^-1合同，则f(X)与g(X)必有相同的规范形．解三设A的全部特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A^-1的全部特征值为1／λ₁，1／λ₂，…，1／λ_n．可见A与A^-1的特征值中正与负的项数分别相同，因而二次型f(X)=X^TA^-1X与g(X)=X^TAX的标准形中系数为正与负的项数分别相同，从而f(X)与g(X)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形．

解析

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考研数学三

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[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

考研数学三

设事件A，B相互独立，P(A)=0．3，且则P(B)=______________．

设有三个线性无关的特征向量．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．

过曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．

曲线y=(x一1)(x一2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．

设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．

设总体X的密度函数为X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的最大似然估计量．

设A为n阶实对称可逆矩阵，二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?

级数

设y(x)为微分方程y’’－4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=______．

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，()．

西蒙给组织结构中的上司分配了一系列重要的功能，以决策的观点来看，他认为最重要的是为组织

()指激发一个人工作积极性的强度,即工作积极性的高低与持续程度;()指人们对某一行为导致的预期目标或结果之可能性大小的判断,其数值变化范围在0~1之间;()指所达到目标对于满足个人需要的价值。

下列选项中，首选六味地黄丸治疗的病证有

对于耳的描述，错误的是

下列除哪项外，均属于滑脉所主病证

无论是盘盈的固定资产还是盘亏的固定资产，在未批准转销前。都应通过“待处理财产损溢”账户核算。()

某旅游团自上海乘飞机至北京。该团入住饭店后，其中一游客发现其他游客都拿到了行李箱，而没有自己的行李箱，便告知导游李某。如果你是该团导游，你将从()环节进行分析和寻找。

“没有民主就没有社会主义”这句话的意思是()。

证明：当x＞0时，

MobilephonesWhatAreMobilePhones?Amobilephone,alsoknownasacellphoneorcellularphone,isaportableelectronic

[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

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设有三个线性无关的特征向量．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵．

过曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．

曲线y=(x一1)(x一2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．

设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．

设总体X的密度函数为X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的最大似然估计量．

设A为n阶实对称可逆矩阵，二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?

级数

设y(x)为微分方程y’’－4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=______．

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，()．

西蒙给组织结构中的上司分配了一系列重要的功能，以决策的观点来看，他认为最重要的是为组织

()指激发一个人工作积极性的强度,即工作积极性的高低与持续程度;()指人们对某一行为导致的预期目标或结果之可能性大小的判断,其数值变化范围在0~1之间;()指所达到目标对于满足个人需要的价值。

下列选项中，首选六味地黄丸治疗的病证有

对于耳的描述，错误的是

下列除哪项外，均属于滑脉所主病证

无论是盘盈的固定资产还是盘亏的固定资产，在未批准转销前。都应通过“待处理财产损溢”账户核算。()

某旅游团自上海乘飞机至北京。该团入住饭店后，其中一游客发现其他游客都拿到了行李箱，而没有自己的行李箱，便告知导游李某。如果你是该团导游，你将从()环节进行分析和寻找。

“没有民主就没有社会主义”这句话的意思是()。

证明：当x＞0时，

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