2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )． 若r(A)=n，则A一定可相似对角化 若A可相似对角化，则r(A)=n 若r(A)=n，则A与E合同 若A2=A，则A一定可相似对角化

设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )． 若r(A)=n，则A一定可相似对角化 若A可相似对角化，则r(A)=n 若r(A)=n，则A与E合同 若A2=A，则A一定可相似对角化

admin2022-12-09  14
问题 设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(          )．
若r(A)=n，则A一定可相似对角化
若A可相似对角化，则r(A)=n
若r(A)=n，则A与E合同
若A2=A，则A一定可相似对角化
选项 A、若r(A)=n，则A一定可相似对角化
B、若A可相似对角化，则r(A)=n
C、若r(A)=n，则A与E合同
D、若A2=A，则A一定可相似对角化
答案D
解析 取A=显然r(A)=3，A的特征值为λ1=λ2=λ3=1，
因为r(E-A)=2，所以A不可相似对角化，(A)不对；
取A=因为AT=A，所以A可相似对角化，但r(A)=2＜3，(B)不对；
取A=显然r(A)=3，但A与E不合同，(C)不对，应选(D)．
事实上，由A2=A得A的特征值为0，1，
由A2=A，即A(E-A)=0得r(A)+r(E-A)≤n，
再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n，
特征值λ=0对应的线性无关的特征向量个数为n-r(0E-A)n-r(A)；
特征值λ=1对应的线性无关的特征向量个数为n-r(E-A)，
因为n-r(A)+n-r(E-A)=n，所以A可相似对角化，应选(D)．
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考研数学三

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