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数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 (1)当a=0时,求通项an; (2)是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 (1)当a=0时,求通项an; (2)是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
admin
2016-01-31
22
问题
数列{a
n
}(n∈N
*
)中,a
1
=a,a
n+1
是函数f
n
(x)=
(3a
n
+n
2
)x
2
+3n
2
a
n
x的极小值点。
(1)当a=0时,求通项a
n
;
(2)是否存在a,使数列{a
n
}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
选项
答案
易知f’
n
(x)=x
2
-(3a
n
+n
n
)x+3n
2
a
n
=(x-3a
n
)(x-n
2
),令f’
n
(x)=0, 得x
1
=3a
n
,x
2
=n
2
。 ①若3a
n
<n
2
,则当x<3a
n
时,f’
n
(x)>0,f
n
(x)单调递增; 当3a
n
<x<f’
n
时,f’
n
(x)<0,f
n
(x)单调递减; 当x>n
2
时,f’
n
(x)>0,f
n
(x)单调递增。 故f
n
(x)在x=n
2
处取得极小值。 ②若3a
n
>n
2
,仿①可得,f
n
(x)在x=3a
n
处取得极小值。 ③若3a
n
=n
2
,则f’
n
(x)≥0,f
n
(x)无极值。 (1)当a=0时,a
1
=0,则3a
1
<1
2
,由①知,a
2
=1
2
=1。 因3a
2
=3<2
2
,则由①知,a
3
=2
2
=4。 因为3a
3
=12>3
2
,则由②知,a
4
=3a
3
=3×4。 又因为3a
4
=36>4
2
,则由②知,a
5
=3a
4
=3
2
×4。 由此猜测:当n≥3时,a
n
=4×3
n-3
。 下面用数学归纳法证明:当n≥3时,3a
n
>n
2
。 事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立。 假设当n=k(k≥3)时,3a
k
>k
2
成立,则由②可得,a
k+1
=3a
k
>k
2
,从而3a
k+1
-(k+1)
2
>3k
2
-(k+1)
2
=2k(k-2)+2k-1>0,所以3a
k+1
>(k+1)
2
。 故当2≥3时,3a
n
>n
2
成立。 于是由②知,当n≥3时,a
n+1
=3a
n
,而a
3
=4,因此a
n
=4×3
n-3
。 综上所述,当a=0时,a
1
=0,a
2
=1,a
n
=4×3
n-3
(n≥3)。 (2)存在a,使数列{a
n
}是等比数列。 事实上,由②知,若对任意的n,都有3a
n
>n
2
,则a
n+1
=3a
n
,即数列{a
n
}是首项为a,公比为3的等比数列,且a
n
=a.3
n-1
。 而要使3a
n
>n
2
,即a.3
n
>n
2
对一切n∈N
*
都成立,只需a>[*]对一切n∈N
*
都成立。 [*] 当a=[*],而3a
2
=4=2
2
,由③知,f
2
(x)无极值,不合题意。 当[*]时,可得a
1
=a,a
2
=3a,a
3
=4,a
4
=12,…,数列{a
n
}不是等比数列。 当a=1/3时,3a=1=1
2
,由③知,f
1
(x)无极值,不合题意。 当a<1/3时,可得a
1
=a,a
2
=1,a
3
=4,a
4
=12,…数列{a
n
}不是等比数列。 综上所述,存在a
1
,使数列{a
n
}是等比数列,且a的取值范围为([*],+∞)。
解析
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