数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 (1)当a=0时,求通项an; (2)是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。

admin2016-01-31  24

问题 数列{an}(n∈N*)中,a1=a,an+1是函数fn(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。
(1)当a=0时,求通项an
(2)是否存在a,使数列{an}是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。

选项

答案易知f’n(x)=x2-(3an+nn)x+3n2an=(x-3an)(x-n2),令f’n(x)=0, 得x1=3an,x2=n2。 ①若3an<n2,则当x<3an时,f’n(x)>0,fn(x)单调递增; 当3an<x<f’n时,f’n(x)<0,fn(x)单调递减; 当x>n2时,f’n(x)>0,fn(x)单调递增。 故fn(x)在x=n2处取得极小值。 ②若3an>n2,仿①可得,fn(x)在x=3an处取得极小值。 ③若3an=n2,则f’n(x)≥0,fn(x)无极值。 (1)当a=0时,a1=0,则3a1<12,由①知,a2=12=1。 因3a2=3<22,则由①知,a3=22=4。 因为3a3=12>32,则由②知,a4=3a3=3×4。 又因为3a4=36>42,则由②知,a5=3a4=32×4。 由此猜测:当n≥3时,an=4×3n-3。 下面用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2。 事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立。 假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由②可得,ak+1=3ak>k2,从而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,所以3ak+1>(k+1)2。 故当2≥3时,3an>n2成立。 于是由②知,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3。 综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1,an=4×3n-3(n≥3)。 (2)存在a,使数列{an}是等比数列。 事实上,由②知,若对任意的n,都有3an>n2,则an+1=3an,即数列{an}是首项为a,公比为3的等比数列,且an=a.3n-1。 而要使3an>n2,即a.3n>n2对一切n∈N*都成立,只需a>[*]对一切n∈N*都成立。 [*] 当a=[*],而3a2=4=22,由③知,f2(x)无极值,不合题意。 当[*]时,可得a1=a,a2=3a,a3=4,a4=12,…,数列{an}不是等比数列。 当a=1/3时,3a=1=12,由③知,f1(x)无极值,不合题意。 当a<1/3时,可得a1=a,a2=1,a3=4,a4=12,…数列{an}不是等比数列。 综上所述,存在a1,使数列{an}是等比数列,且a的取值范围为([*],+∞)。

解析
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