2. 公务员
  3. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB1=1，点D是棱A1C1的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E，确定点E的位置并给出理由；(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小；(3)求二面角B-AD-B1的大小。

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB1=1，点D是棱A1C1的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E，确定点E的位置并给出理由；(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小；(3)求二面角B-AD-B1的大小。

admin2009-04-24  43
问题 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB1=1，点D是棱A1C1的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E，确定点E的位置并给出理由；(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小；(3)求二面角B-AD-B1的大小。
选项
答案(1)由题意，连接BE，DE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵BB1∥平面AA1C1C， 平面B1BED∩平面AA1C1C=DE， ∴BB1∥ED∴ED∥AA1∥CC1。 又∵点D是棱A1C1的中点， ∴点E是棱AC的中点。[*] (2)延长BE，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于点F。 ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 且[*] ∴BB1⊥AF。又∵AF⊥BE，∴AF⊥平面BEDB1， ∴∠FBA即为直线AB与平面BB1D所成的角。在Rt△ABC中，[*]， 又∵在Rt△BCE中，CE=CB=1，∴△BCE为等腰直角三角形，∴∠CEB=45°． ∴∠AEF=∠CEB=45°． ∴△AEF为等腰直角三角形，[*][*] (3)由(1)(2)知[*] ∵AD2+BD2=AB2， ∴△ADB为直角三角形。过点D于平面ADB1内作DG⊥AD交AB1与点G，连接BG， 则∠BDG为二面角B-AD-B1的平面角。 由余弦定理得[*]=AD2+B1D2-2AD?B1D?cos∠ADB1， 解之得[*]又由题意知90°＜∠ADB1＜180° ∴∠ADB1=120°， ∴在△ADB1中，∠DAB1=∠DB1A=30°。[*] 由余弦定理得[*]在△BDG中， 由余弦定理得BG2=BD2+DG2-2BD?DG?cos∠BDG。 [*]
解析
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