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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2,BC=BB1=1,点D是棱A1C1的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E,确定点E的位置并给出理由;(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小;(3)求二面角B-AD-B1的大小。
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2,BC=BB1=1,点D是棱A1C1的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E,确定点E的位置并给出理由;(2)求直线AB与平面BB1D所成角的大小;(3)求二面角B-AD-B1的大小。
admin
2009-04-24
42
问题
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠ACB=90°,AC=2,BC=BB
1
=1,点D是棱A
1
C
1
的1中点。(1)设平面BB1D与棱AC交于点E,确定点E的位置并给出理由;(2)求直线AB与平面BB
1
D所成角的大小;(3)求二面角B-AD-B
1
的大小。
选项
答案
(1)由题意,连接BE,DE,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中, ∵BB
1
∥平面AA
1
C
1
C, 平面B
1
BED∩平面AA
1
C
1
C=DE, ∴BB
1
∥ED∴ED∥AA
1
∥CC
1
。 又∵点D是棱A
1
C
1
的中点, ∴点E是棱AC的中点。[*] (2)延长BE,过点A作AF⊥BE,交BE的延长线于点F。 ∵在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,BB
1
⊥平面ABC, 且[*] ∴BB1⊥AF。又∵AF⊥BE,∴AF⊥平面BEDB
1
, ∴∠FBA即为直线AB与平面BB1D所成的角。在Rt△ABC中,[*], 又∵在Rt△BCE中,CE=CB=1,∴△BCE为等腰直角三角形,∴∠CEB=45°. ∴∠AEF=∠CEB=45°. ∴△AEF为等腰直角三角形,[*][*] (3)由(1)(2)知[*] ∵AD
2
+BD
2
=AB
2
, ∴△ADB为直角三角形。过点D于平面ADB
1
内作DG⊥AD交AB
1
与点G,连接BG, 则∠BDG为二面角B-AD-B
1
的平面角。 由余弦定理得[*]=AD
2
+B1D
2
-2AD?B
1
D?cos∠ADB
1
, 解之得[*]又由题意知90°<∠ADB1<180° ∴∠ADB
1
=120°, ∴在△ADB
1
中,∠DAB
1
=∠DB
1
A=30°。[*] 由余弦定理得[*]在△BDG中, 由余弦定理得BG
2
=BD
2
+DG
2
-2BD?DG?cos∠BDG。 [*]
解析
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