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证明:对任一多项式p(x),一定存在x1与x2.使p(x)在(-∞,x1)与(x2,+∞)内分别严格单调.
证明:对任一多项式p(x),一定存在x1与x2.使p(x)在(-∞,x1)与(x2,+∞)内分别严格单调.
admin
2022-11-23
30
问题
证明:对任一多项式p(x),一定存在x
1
与x
2
.使p(x)在(-∞,x
1
)与(x
2
,+∞)内分别严格单调.
选项
答案
设p(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+…+a
n-1
x+a
n
,n=1,2,…,a
0
≠0.不妨设a
0
>0.则 P’(x)=na
0
x
n-1
+(n-1)a
1
x
n-2
+…+a
n-1
. 当n为偶数时,n-1为奇数,此时有 [*] 故存在x
1
<0,x
2
>0,使得当x<x
1
时.p’(x)<0,当x>x
2
时,p’(x)>0.于是p(x)在(-∞,x
1
)内严格递减,在(x
2
,+∞)内严格递增. 当n为奇数时,n-1为偶数,则[*],故存在x
0
>0,使得当|x|>x
0
时,p’(x)>0,令x
1
=-x
0
,x
2
=x
0
,则p(x)在(-∞,x
1
)与(x
2
,+∞)内分别严格递增,
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wlgD777K
0
考研数学一
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