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  3. 证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2．使p(x)在(-∞，x1)与(x2，+∞)内分别严格单调．

证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2．使p(x)在(-∞，x1)与(x2，+∞)内分别严格单调．

admin2022-11-23  22
问题 证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2．使p(x)在(-∞，x1)与(x2，+∞)内分别严格单调．
选项
答案设p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，n=1，2，…，a0≠0．不妨设a0＞0．则 P’(x)=na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+an-1． 当n为偶数时，n-1为奇数，此时有 [*] 故存在x1＜0，x2＞0，使得当x＜x1时．p’(x)＜0，当x＞x2时，p’(x)＞0．于是p(x)在(-∞,x1)内严格递减，在(x2，+∞)内严格递增． 当n为奇数时，n-1为偶数，则[*]，故存在x0＞0，使得当｜x｜＞x0时，p’(x)＞0，令x1=-x0，x2=x0，则p(x)在(-∞,x1)与(x2，+∞)内分别严格递增，
解析
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考研数学一

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