2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′－(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′－(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0．

admin2017-09-15  51
问题 设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′－(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0．
选项
答案不妨设f′＋(a)＞0，f′－(b)＜0，根据极限的保号性，由f′＋(a)＝[*]＞0，则存在δ＞0(δ＜b－a)，当0＜χ－a＜δ时，[*]＞0，即f(χ)＞f(a)， 所以存在χ1∈(a，b)，使得f(χ1)＞f(a)． 同理由f′－(b)＜0，存在χ2∈(a，b)，使得f(χ2)＞f(b)． 因为f(χ)在[a，b]上连续，且f(χ1)＞f(a)，f(χ2)＞f(b)，所以f(χ)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(χ)在[a，b]上的最大值，故f′(ξ)＝0．
解析
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考研数学二

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