设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′+(a)f′-(b)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.

admin2017-09-15  36

问题 设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′+(a)f′(b)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0.

选项

答案不妨设f′(a)>0,f′(b)<0,根据极限的保号性,由f′(a)=[*]>0,则存在δ>0(δ<b-a),当0<χ-a<δ时,[*]>0,即f(χ)>f(a), 所以存在χ1∈(a,b),使得f(χ1)>f(a). 同理由f′(b)<0,存在χ2∈(a,b),使得f(χ2)>f(b). 因为f(χ)在[a,b]上连续,且f(χ1)>f(a),f(χ2)>f(b),所以f(χ)的最大值在(a,b)内取到,即存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)为f(χ)在[a,b]上的最大值,故f′(ξ)=0.

解析
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