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设向量α1,α2,…,αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关.
设向量α1,α2,…,αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αr线性无关.
admin
2016-02-27
81
问题
设向量α
1
,α
2
,…,α
r
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解.证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
r
线性无关.
选项
答案
对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之.注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量β,α
1
,α
2
,…,α
n
的线性组合的向量组.如能证明β
1
,α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,也可用矩阵表示法证之. 证一 设有一组数k,k
1
,k
2
,…,k
r
,使 [*] 则有 [*] 上式两边同时左乘A,有 [*] 而Aβ≠0,故必须有 [*] 把式②代入式①得 [*] 由于α
1
,α
1
,…,α
r
为Ax=0的基础解系,α
1
,α
2
,…,α
r
必线性无关,故 k
1
=k
2
=…一k
r
=0. ③ 将式③代入式②得k=0,故向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
r
线性无关. 证二用矩阵表示法证之. 先证α
1
,α
2
,…,α
n
,β线性无关,可用反证法证之.如果α
1
,α
2
,…,α
n
,β线性相关,而α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,故β可由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示.设 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
. 在上式两端左乘A,得到 Aβ=k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
n
Aα
n
=0+0+…+0=0. 这与Aβ≠0矛盾,故α
1
,α
2
,…,α
n
,β线性无关.又因 [*] =[β,α
1
,α
2
,…,α
n
]K. 显然∣K∣=1≠0,故β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
n
线性无关.
解析
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考研数学二
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