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  3. 设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

admin2016-02-27  49
问题 设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．
选项
答案对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之．注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量β，α1，α2，…，αn的线性组合的向量组．如能证明β1，α1，α2，…，αn线性无关，也可用矩阵表示法证之． 证一 设有一组数k，k1，k2，…，kr，使 [*] 则有 [*] 上式两边同时左乘A，有 [*] 而Aβ≠0，故必须有 [*] 把式②代入式①得 [*] 由于α1，α1，…，αr为Ax=0的基础解系，α1，α2，…，αr必线性无关，故 k1=k2=…一kr=0． ③ 将式③代入式②得k=0，故向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关． 证二用矩阵表示法证之． 先证α1，α2，…，αn，β线性无关，可用反证法证之．如果α1，α2，…，αn，β线性相关，而α1，α2，…，αn线性无关，故β可由α1，α2，…，αn线性表示．设 β=k1α1+k2α2+…+knαn． 在上式两端左乘A，得到 Aβ=k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0+0+…+0=0． 这与Aβ≠0矛盾，故α1，α2，…，αn，β线性无关．又因 [*] =[β，α1，α2，…，αn]K． 显然∣K∣=1≠0，故β，β+α1，β+α2，…，β+αn线性无关．
解析
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考研数学二

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