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设f(χ)有界,且f′(χ)连续,对任意的χ∈(-∞,+∞)有|f(χ)+f′(χ)|≤1.证明:|f(χ)|≤1.
设f(χ)有界,且f′(χ)连续,对任意的χ∈(-∞,+∞)有|f(χ)+f′(χ)|≤1.证明:|f(χ)|≤1.
admin
2017-09-15
57
问题
设f(χ)有界,且f′(χ)连续,对任意的χ∈(-∞,+∞)有|f(χ)+f′(χ)|≤1.证明:|f(χ)|≤1.
选项
答案
令φ(χ)=e
χ
f(χ),则φ′(χ)=e
χ
[f(χ)+f′(χ)], 由|f(χ)+f′(χ)|≤1得|φ′(χ)|≤e
χ
,又由f(χ)有界得φ(-∞)=0,则 φ(χ)=φ(χ)-φ(-∞)=∫
-∞
χ
φ′(χ)dχ,两边取绝对值得 e
χ
|f(χ)|≤∫
-∞
χ
| φ′(χ)|dχ≤∫
-∞
χ
e
χ
dχ=e
χ
,所以|f(χ)|≤1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/x7t4777K
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考研数学二
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