设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．

admin2017-09-15 42

问题设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．

选项

答案令φ(χ)＝e^χf(χ)，则φ′(χ)＝e^χ[f(χ)＋f′(χ)]，由｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1得｜φ′(χ)｜≤e^χ，又由f(χ)有界得φ(－∞)＝0，则 φ(χ)＝φ(χ)－φ(－∞)＝∫_－∞^χφ′(χ)dχ，两边取绝对值得 e^χ｜f(χ)｜≤∫_－∞^χ｜ φ′(χ)｜dχ≤∫_－∞^χe^χdχ＝e^χ，所以｜f(χ)｜≤1．

解析

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