2. 考研
  3. 设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．

设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．

admin2017-09-15  35
问题 设f(χ)有界，且f′(χ)连续，对任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．证明：｜f(χ)｜≤1．
选项
答案令φ(χ)＝eχf(χ)，则φ′(χ)＝eχ[f(χ)＋f′(χ)]， 由｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1得｜φ′(χ)｜≤eχ，又由f(χ)有界得φ(－∞)＝0，则 φ(χ)＝φ(χ)－φ(－∞)＝∫－∞χφ′(χ)dχ，两边取绝对值得 eχ｜f(χ)｜≤∫－∞χ｜ φ′(χ)｜dχ≤∫－∞χeχdχ＝eχ，所以｜f(χ)｜≤1．
解析
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考研数学二

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