设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

admin2017-01-21 71

问题设矩阵A=

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

选项

答案矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=（λ—2）（λ²—8λ+18 +3a）。如果λ=2是单根，则λ²—8λ +18 +3a是完全平方，必有18 +3a=16，即a=[*] 则矩阵A的特征值是2，4，4，而r（4E—A）=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代入λ²—8λ +18 +3a=0可得a=—20 于是λ²—8λ+18 +3a=（λ—2）（λ—6）。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r（2E—A）=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。

解析

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