设矩阵A=的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化。

admin2017-01-21  27

问题 设矩阵A=的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化。

选项

答案矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=(λ—2)(λ2—8λ+18 +3a)。 如果λ=2是单根,则λ2—8λ +18 +3a是完全平方,必有18 +3a=16,即a=[*] 则矩阵A的特征值是2,4,4,而r(4E—A)=2,故λ=4只有一个线性无关的特征向量,从而A不能相似对角化。 如果λ=2是二重特征值,则将λ=0代入λ2—8λ +18 +3a=0可得a=—20 于是λ2—8λ+18 +3a=(λ—2)(λ—6)。 则矩阵A的特征值是2,2,6,而r(2E—A)=1,故λ=2有两个线性无关的特征向量,从而A可以相似对角化。

解析
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