2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)＝XTAX＝[x1，x2，x3] 满足aii＝2，AB＝0，其中B＝． (1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换； (2)求该二次型．

设二次型 f(x1，x2，x3)＝XTAX＝[x1，x2，x3] 满足aii＝2，AB＝0，其中B＝． (1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换； (2)求该二次型．

admin2016-01-25  38
问题 设二次型
f(x1，x2，x3)＝XTAX＝[x1，x2，x3]
满足aii＝2，AB＝0，其中B＝．
(1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；
(2)求该二次型．
选项
答案(1)由AB＝0即知B中三个列向量均为A的属于零特征值的特征向量． 事实上，设B＝[α1，α2，α3]，则Aαi＝0(i＝1，2，3)．显然α1，α2线性无关，且α3＝α1＋α2， 故λ1＝0至少是二重特征值．又因 [*] 故λ1＝λ2＝0，λ3＝2．设对应于λ3＝2的特征向量为 β3＝[x1，x2，x3]T， 则α1与β3，α2与β3正交，于是有 [*] 由[*]知，该方程组的基础解系为 [一1／2，一1／2，1]T． 为方便计，取β3＝[1，1，－2]T． 注意到α1，α2，β3两两相交，只需单位化 [*] 则Q＝[η1，η2，η3]为正交矩阵，作正交变换X＝QY，则 f＝XTAX＝(QY)TA(QY)＝YT(QTAQ)Y [*] [*]
解析 为解决问题(1)与(2)需先求出A的特征值、特征向量．因A为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之．
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考研数学三

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