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证明:(1)对任意正整数n,都有成立; (2)设an=1+—ln n(n=1,2,…),证明{an}收敛.
证明:(1)对任意正整数n,都有成立; (2)设an=1+—ln n(n=1,2,…),证明{an}收敛.
admin
2016-01-15
70
问题
证明:(1)对任意正整数n,都有
成立;
(2)设a
n
=1+
—ln n(n=1,2,…),证明{a
n
}收敛.
选项
答案
(1)[*] 先证明ln(1+x)<x,x>0. 令f(x)=x一ln(1+x).由于 f’(x)=1一[*]>0,x>0, 可知f(x)在[0,+∞]上单调递增.又由于f(0)=0,因此当x>0时,f(x)>f(0)=0.也即 ln(1+x)<x,x>0. [*] 可知g(x)在[0,+∞]上单调递增.又因g(0)=0,因此当x>0时,g(x)>g(0)=0.即 [*] 因此数列{a
n
}是有界的.由单调有界收敛定理可知数列{a
n
}收敛.
解析
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考研数学一
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