2. 考研
  3. 证明：(1)对任意正整数n，都有成立； (2)设an=1+—ln n(n=1，2，…)，证明{an}收敛．

证明：(1)对任意正整数n，都有成立； (2)设an=1+—ln n(n=1，2，…)，证明{an}收敛．

admin2016-01-15  62
问题 证明：(1)对任意正整数n，都有成立；
(2)设an=1+—ln n(n=1，2，…)，证明{an}收敛．
选项
答案(1)[*] 先证明ln(1+x)＜x，x＞0． 令f(x)=x一ln(1+x)．由于 f’(x)=1一[*]＞0，x＞0， 可知f(x)在[0，+∞]上单调递增．又由于f(0)=0，因此当x＞0时，f(x)＞f(0)=0．也即 ln(1+x)＜x，x＞0． [*] 可知g(x)在[0，+∞]上单调递增．又因g(0)=0，因此当x＞0时，g(x)＞g(0)=0．即 [*] 因此数列{an}是有界的．由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛．
解析
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考研数学一

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