2. 考研
  3. 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 （Ⅰ）证明B可逆； （Ⅱ）求AB—1。

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 （Ⅰ）证明B可逆； （Ⅱ）求AB—1。

admin2017-12-29  72
问题 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。
（Ⅰ）证明B可逆；
（Ⅱ）求AB—1。
选项
答案（Ⅰ）设E（i，j）是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E（i，j）A，因此有|B|=|E（i，j）||A|=一|A|≠0，所以矩阵B可逆。 （Ⅱ）AB—1=A[E（i，j）A]—1=AA—1E—1（i，j）=E—1（i，j）=E（i，j）。
解析
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考研数学三

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