2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．

admin2017-12-23  38
问题 设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．
选项
答案令φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt． 因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0． 而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．
解析 由∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0，得∫0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而
[x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt]’=0，辅助函数为φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt．
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考研数学二

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