确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示。

admin2017-07-10  36

问题 确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(一2,a,4)T,β3=(一2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α123线性表示。

选项

答案记A=(α123),B=(β1,β2,β3)。因为β1,β2,β3不能由α123线性表示,所以r(A)<3(若r(A)=3,则任何三维向量都可以由α123线性表示),从而 [*] 即a=一2或1。当a=一2时 [*] 考虑线性方程组Bx=α2。因为系数矩阵的秩为2,增广矩阵的秩为3,所以线性方程组Bx=α2无解,即α2不能由β1,β2,β3线性表出,这与题中的已知条件矛盾,故a=一2不合题意。 当a=1时,α1231=(1,1,1),则α1231+0.β2+0.β3,说明α3,α2,α3可由β1,β2,β3线性表示;而方程组x1α1+x2α2+x3α32无解(系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2),所以α2不能由α123线性表示。故a=1符合题意。

解析
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