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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
admin
2015-07-22
59
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=
证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
选项
答案
由积分中值定理,得f(1)=e
1-ξ
1
2
f(ξ
1
),ξ
1
∈[*] 令F(x)=e
1-x
2
f(x),则F(x)在[ξ
1
,1]上连续,在(ξ
1
,1)内可导,且 F(1)=f(1)=e
1-ξ
1
2
f(ξ
1
)=F(ξ
1
). 由罗尔定理,在(ξ
1
,1)内至少有一点ξ,使得 F’(ξ)=e
1-ξ
2
[f’(ξ—2ξf(ξ)]=0,于是 f’(ξ)=2ξf(ξ),ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1).
解析
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考研数学三
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