2. 考研
  3. 设A，B都是三阶方阵，满足AB=A—B，若λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，证明：(1)λ1≠一1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵C，使CTAC，CTBC同时为对角矩阵．

设A，B都是三阶方阵，满足AB=A—B，若λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，证明：(1)λ1≠一1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵C，使CTAC，CTBC同时为对角矩阵．

admin2017-07-26  119
问题 设A，B都是三阶方阵，满足AB=A—B，若λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，证明：(1)λ1≠一1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵C，使CTAC，CTBC同时为对角矩阵．
选项
答案(1)AB=A—B→(A+E)(E一B)=E=>AB=BA 且 ｜E+A｜≠0→λ1≠一1(i=1，2，3)． (2)设Axi=λixi，则ABxi=BAxi=λiBxi→Bxi=μixi(Bxi≠0) 或 Bxi=0．xi(Bxi=0)，总之xi均为B的特征向量． 令 C=[x1，x2，x3]→C—1AC=[*]．
解析
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考研数学三

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