设A，B都是三阶方阵，满足AB=A—B，若λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，证明：(1)λ1≠一1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵C，使CTAC，CTBC同时为对角矩阵．

admin2017-07-26 71

问题设A，B都是三阶方阵，满足AB=A—B，若λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，证明：(1)λ₁≠一1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵C，使C^TAC，C^TBC同时为对角矩阵．

选项

答案(1)AB=A—B→(A+E)(E一B)=E=>AB=BA 且｜E+A｜≠0→λ₁≠一1(i=1，2，3)． (2)设Ax_i=λ_ix_i，则ABx_i=BAx_i=λ_iBx_i→Bx_i=μ_ix_i(Bx_i≠0) 或 Bx_i=0．x_i(Bx_i=0)，总之x_i均为B的特征向量．令 C=[x₁，x₂，x₃]→C^—1AC=[*]．

解析

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考研数学三

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