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设A,B都是三阶方阵,满足AB=A—B,若λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,证明:(1)λ1≠一1(i=1,2,3);(2)存在可逆阵C,使CTAC,CTBC同时为对角矩阵.
设A,B都是三阶方阵,满足AB=A—B,若λ1,λ2,λ3是A的三个不同特征值,证明:(1)λ1≠一1(i=1,2,3);(2)存在可逆阵C,使CTAC,CTBC同时为对角矩阵.
admin
2017-07-26
87
问题
设A,B都是三阶方阵,满足AB=A—B,若λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的三个不同特征值,证明:(1)λ
1
≠一1(i=1,2,3);(2)存在可逆阵C,使C
T
AC,C
T
BC同时为对角矩阵.
选项
答案
(1)AB=A—B→(A+E)(E一B)=E=>AB=BA 且 |E+A|≠0→λ
1
≠一1(i=1,2,3). (2)设Ax
i
=λ
i
x
i
,则ABx
i
=BAx
i
=λ
i
Bx
i
→Bx
i
=μ
i
x
i
(Bx
i
≠0) 或 Bx
i
=0.x
i
(Bx
i
=0),总之x
i
均为B的特征向量. 令 C=[x
1
,x
2
,x
3
]→C
—1
AC=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xgH4777K
0
考研数学三
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