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  3. 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ζ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( )

设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ζ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( )

admin2020-03-02  5
问题 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ζ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为(    )
选项 A、E(X)=E(Y)
B、E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2
C、E(X2)=E(Y2)
D、E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2
答案B
解析 ζ和η不相关的充分必要条件是它们的协方差Cov(ζ，η)=0。
由协方差的性质：Cov(aX+bY，Z)=aCov(X，Z) +bCov(Y，Z)，
故   Cov(ζ，η) = Cov(X+Y，X—Y)
= Cov(X，X)— Cov(X，Y)+ Cov(Y ，X)— Cov (Y，Y)
= Cov(X，X)—Cov(Y，Y)= D(X)—D(Y)，
可见
Cov(ζ，η) = 0D(X)— D(Y) = 0D (X) = D(Y)
E(X2)—[E(X)]2=E(Y2)—[E(Y)]2，
故正确选项为B。
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考研数学一

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