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  3. 设矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

设矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

admin2015-09-14  13
问题 设矩阵

求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。
选项
答案由AT=A，得(AP)T(AP)=PTA2P。而矩阵 [*] 以下欲求矩阵P，使PTA2P为对角矩阵，可以考虑二次型 [*] 因为A2为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得-1A2P=PTA2P为对角矩阵，下面来求这样的正交矩阵P。 首先求出A2
解析 本题是关于特征值的基本概念题。利用矩阵运算得到(AP)T(AP)=PTA2P，从而将问题归结为实对称矩阵A2合同于对角矩阵的问题，这是本题求解的关键。由此自然想到利用二次型的配方法或用正交矩阵P化A2为对角矩阵。
注意求矩阵A2的属于3重特征值λ1=λ2=λ3=1的特征向量的方法：解齐次方程组(E一A2)x=0，由

系数矩阵的秩为1，故只有1个约束未知量，选x3为约束未知量，则x1，x2，x4为自由未知量(虽然方程x3+x4=0中未出现x1，x2，但约束未知量以外的未知量都是自由未知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为
x3=一x4(x1，x2，x4任意)，

代入上述通解，则得方程组的基础解系、即属于特征值1的线性无关特征向量：
α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，一1，1)T
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考研数学三

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