设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。证明α1，α2，α3线性无关；

admin2018-04-12 69

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃。
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案方法一：假设α₁，α₂，α₃线性相关。因为α₁，α₂是属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关，则α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零。(若l₁，l₂同时为0，则α₃=0，由Aα₃=α₂+α₃可知α₂=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)由于Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，则 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂。又Aα₃=A(l₁α₁+l₂α₂)=一l₁α₁+l₂α₂，那么一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂，整理得2l₁α₁+α₂=0。则α₁，α₂线性相关，矛盾。所以α₁，α₂，α₃线性无关。方法二：设存在数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂得－k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0， (2) (1)一(2)得 2k₁α₁—k₃α₂=0， (3) 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=k₃=0，代入(1)得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xxk4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。证明α1，α2，α3线性无关；

考研数学二

[*]

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)>0，f"(x)>0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x>0，则

内有且只有一个实根。

U的分布函数为G(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=P{X+Y≤u，X=1}+P{X+Y≤u，X=2}=P{X+Y≤u|X=1}P{X=1}+P{X+Y≤u|X=2}P{X=2}=P{Y≤u-1|X=1}P

设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域．当a为何值时，y(a)最小?并求此最小值．

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求矩阵A．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

设n,元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

证明：区间(a，b)内单调函数f(x)若有间断点，则它必为第一类间断点．

e－2所以原式＝e－2．

认为金木水火土是世界的本原属于()

新生儿时期最常见的脑膜炎是

汗出恶风，身重，小便不利，舌淡苔白，脉浮，属下列的何方主治

房地产经纪机构的部门设置中，其业务支持部门，通常包括以下一些部门()等。

(　　)合同计价方式可以促使承包方关心和降低成本，缩短工期，而且成本可以随设计的进展而加以调整，从而使双方都不会承担太大的风险，实际工程中多采用。

宪法同其他法一样。

关于下列标识的说法，错误的是()。

某慈善组织的决策机构由12人组成，该组织拟用善款实施一项投资方案，现召开内部会议对投资方案进行表决，至少需()人同意，此投资方案方可通过。

Foreachquestionbelow,choosetheanswerthatbestcompletesthesentence.ThenmarkthecorrespondingletterontheAnswerSh

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。 证明α1，α2，α3线性无关；

考研数学二

[*]

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)>0，f"(x)>0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x>0，则

内有且只有一个实根。

U的分布函数为G(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}=P{X+Y≤u，X=1}+P{X+Y≤u，X=2}=P{X+Y≤u|X=1}P{X=1}+P{X+Y≤u|X=2}P{X=2}=P{Y≤u-1|X=1}P

设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域．当a为何值时，y(a)最小?并求此最小值．

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求矩阵A．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

设n,元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

证明：区间(a，b)内单调函数f(x)若有间断点，则它必为第一类间断点．

e－2所以原式＝e－2．

认为金木水火土是世界的本原属于()

新生儿时期最常见的脑膜炎是

汗出恶风，身重，小便不利，舌淡苔白，脉浮，属下列的何方主治

房地产经纪机构的部门设置中，其业务支持部门，通常包括以下一些部门()等。

( )合同计价方式可以促使承包方关心和降低成本，缩短工期，而且成本可以随设计的进展而加以调整，从而使双方都不会承担太大的风险，实际工程中多采用。

宪法同其他法一样。

关于下列标识的说法，错误的是()。

某慈善组织的决策机构由12人组成，该组织拟用善款实施一项投资方案，现召开内部会议对投资方案进行表决，至少需()人同意，此投资方案方可通过。

Foreachquestionbelow,choosetheanswerthatbestcompletesthesentence.ThenmarkthecorrespondingletterontheAnswerSh

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。证明α1，α2，α3线性无关；

(　　)合同计价方式可以促使承包方关心和降低成本，缩短工期，而且成本可以随设计的进展而加以调整，从而使双方都不会承担太大的风险，实际工程中多采用。