2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。 证明α1，α2，α3线性无关；

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。 证明α1，α2，α3线性无关；

admin2018-04-12  59
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。
证明α1，α2，α3线性无关；
选项
答案方法一：假设α1，α2，α3线性相关。因为α1，α2是属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，则α3可由α1，α2线性表出，不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零。(若l1，l2同时为0，则α3=0，由Aα3=α2+α3可知α2=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)由于Aα1=一α1，Aα2=α2，则 Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2。 又Aα3=A(l1α1+l2α2)=一l1α1+l2α2，那么 一l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2， 整理得2l1α1+α2=0。则α1，α2线性相关，矛盾。所以α1，α2，α3线性无关。 方法二：设存在数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aα1=一α1，Aα2=α2得 －k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0， (2) (1)一(2)得 2k1α1—k3α2=0， (3) 因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=k3=0，代入(1)得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关。
解析
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考研数学二

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