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设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。 证明α1，α2，α3线性无关；
设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。 证明α1，α2，α3线性无关；
admin
2018-04-12
68
问题
设A为三阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
。
证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关；
选项
答案
方法一：假设α
1
，α
2
，α
3
线性相关。因为α
1
，α
2
是属于不同特征值的特征向量，故α
1
，α
2
线性无关，则α
3
可由α
1
，α
2
线性表出，不妨设α
3
=l
1
α
1
+l
2
α
2
，其中l
1
，l
2
不全为零。(若l
1
，l
2
同时为0，则α
3
=0，由Aα
3
=α
2
+α
3
可知α
2
=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)由于Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
，则 Aα
3
=α
2
+α
3
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
。 又Aα
3
=A(l
1
α
1
+l
2
α
2
)=一l
1
α
1
+l
2
α
2
，那么 一l
1
α
1
+l
2
α
2
=α
2
+l
1
α
1
+l
2
α
2
， 整理得2l
1
α
1
+α
2
=0。则α
1
，α
2
线性相关，矛盾。所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关。 方法二：设存在数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aα
1
=一α
1
，Aα
2
=α
2
得 －k
1
α
1
+(k
2
+k
3
)α
2
+k
3
α
3
=0， (2) (1)一(2)得 2k
1
α
1
—k
3
α
2
=0， (3) 因为α
1
，α
2
是A的属于不同特征值的特征向量，所以α
1
，α
2
线性无关，从而k
1
=k
3
=0，代入(1)得k
2
α
2
=0，又由于α
2
≠0，所以k
2
=0，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xxk4777K
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