证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

admin2017-09-18 57

问题证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

选项

答案设f(x)是连续的奇函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，而F(一x)=∫₀^一xf(t)dt+C，令t=一u，则 F(一x)=∫₀^一xf(t)dt=∫₀^xf(一u)d(一u)+C=一∫₀^x一f(u)du+C=∫₀^xf(u)du+C=F(x)，所以F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。若f(x)是连续的偶函数，F(x)=∫₀^xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，有 F(一x)=∫₀^一xf(t)dt=∫₀^xf(一u)d(一u)+C=一∫₀^xf(u)du+C=一F(x)+C，于是，只有当C=0时才有F(一x)=一F(一x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

解析

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证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

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