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证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数;连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数;连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
admin
2017-09-18
51
问题
证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数;连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
选项
答案
设f(x)是连续的奇函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C是f(x)的所有原函数,而F(一x)=∫
0
一x
f(t)dt+C,令t=一u,则 F(一x)=∫
0
一x
f(t)dt=∫
0
x
f(一u)d(一u)+C=一∫
0
x
一f(u)du+C=∫
0
x
f(u)du+C=F(x), 所以F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。 若f(x)是连续的偶函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C是f(x)的所有原函数,有 F(一x)=∫
0
一x
f(t)dt=∫
0
x
f(一u)d(一u)+C=一∫
0
x
f(u)du+C=一F(x)+C, 于是,只有当C=0时才有F(一x)=一F(一x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
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