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  3. 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

admin2017-09-18  44
问题 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
选项
答案设f(x)是连续的奇函数，F(x)=∫0xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，而F(一x)=∫0一xf(t)dt+C，令t=一u，则 F(一x)=∫0一xf(t)dt=∫0xf(一u)d(一u)+C=一∫0x一f(u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)， 所以F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。 若f(x)是连续的偶函数，F(x)=∫0xf(t)dt+C是f(x)的所有原函数，有 F(一x)=∫0一xf(t)dt=∫0xf(一u)d(一u)+C=一∫0xf(u)du+C=一F(x)+C， 于是，只有当C=0时才有F(一x)=一F(一x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。
解析
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