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设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( )．
设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( )．
admin
2016-12-16
67
问题
设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( )．
选项
A、E(X)=E(Y)
B、E(X
2
)一(E(X))
2
=E(Y
2
)一(E(Y))
2
C、E(X
2
)=E(Y
2
)
D、E(X
2
)+(E(X))
2
=E(Y
2
)+(E(X))
2
答案
B
解析
X，Y不相关的充要条件有：
(1)E(XY)=E(X)．E(Y)；
(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)；
(3)cov(X ，Y)=0；
(4)ρ
xy
=0．
本例使用条件cov(X，Y)=0更方便．由
E(ξη)=E(X
2
一Y
2
)=E(X
2
)一E(Y
2
)，
而 ξ=X+Y，η=X一Y
则 E(ξ)=E(X)+E(Y)，E(η)=E(X)一E(Y)，
于是 cov(ξ，η)一E(X
2
)一E(Y
2
)一(E(X)+E(Y))(E(X)一E(Y))
=E(X
2
)一(E(X))
2
一(E(P)一(E(Y))
2
)+E(X)E(Y)一E(X)E(Y)
=D(X)一D(Y)．
因此cov(ξ，η)=0的充要条件是D(X)=D(Y)．仅(B)入选．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/y6H4777K
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考研数学三
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