设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

admin2016-10-21 28

问题设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫₀¹f(χ)dχ]²＞∫₀¹f³(χ)dχ．

选项

答案即证[∫₀¹f(χ)dχ]²＞∫₀¹f³(χ)dχ＞0．考察F(χ)＝[∫₀^χf(t)dt]²－∫₀^χf³(t)dt，若能证明F(χ)＞0(χ∈(0，1])即可．这可用单调性方法．令F(χ)＝[∫₀^χf(t)dt]²－∫₀^χf³(t)dt，易知F(χ)在[0，1]可导，且 F(0)＝0，F′(χ)＝f(χ)[2∫₀^χf(t)dt－f²(χ)]．由条件知，f(χ)在[0，1]单调上升，f(χ)＞f(0)＝0(χ∈(0，1])，从而F′(χ)与g(χ)＝2∫₀^χf(t)dt－f²(χ)同号．再考察 g′(χ)＝2f(χ)[1－f′(χ)]＞0(χ∈(0，1))， g(χ)在[0，1]连续，于是g(χ)在[0，1]单调上升，g(χ)＞g(0)＝0(χ∈(0，1])，也就有F′(χ)＞0(χ ∈(0，1])，即F(χ)在[0，1]单调上升，F(χ)＞F(0)＝0(χ∈(0，1])．因此 F(1)＝[∫₀^χf(χ)dχ]²－∫₀¹f³(χ)dχ＞0．即结论成立．

解析

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考研数学二

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设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

考研数学二

[*]

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，

设a1＞0，an+1==ln(1+an)，证明：存在，并求此极限．

设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．

若f(x)在[0,a]上连续，a＞0,且f"(x)≥0,证明：∫abf(x)dx≥a.

设f(x)在[a,b]上可导，且f’(x)≤M,f(a)=0,证明：∫abf(x)dx≤(b－a)2

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设偶函数f(x)的二阶导数f’’(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=1,f"(0)=2,试证级数绝对收敛。

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中国共产党对中国社会主义事业的领导，主要是()

有关原发性癫痫，下列哪项是不正确的

根据《中华人民共和国民族区域自治法》的规定，下列哪一机关不享有自治条例、单行条例的制定权?()

与横道图比较，网络计划具备的优点有()。

某公司在工商银行A市支行开立了基本存款账户，现因经营需要向建设银行B分行申请贷款100万元，经审查同意办理贷款，其应在B分行开立(　　)。

我国实行土地用途管制制度，将土地分为()。

对期末存货采用成本与可变现净值孰低计价，所体现的会计核算质量要求是()。

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设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

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设a1＞0，an+1==ln(1+an)，证明：存在，并求此极限．

设a1=1，当n≥1时，，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x-sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．

若f(x)在[0,a]上连续，a＞0,且f"(x)≥0,证明：∫abf(x)dx≥a.

设f(x)在[a,b]上可导，且f’(x)≤M,f(a)=0,证明：∫abf(x)dx≤(b－a)2

设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。

设偶函数f(x)的二阶导数f’’(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=1,f"(0)=2,试证级数绝对收敛。

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