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设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1(χ∈(0,1)),求证:[∫01f(χ)dχ]2>∫01f3(χ)dχ.
设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1(χ∈(0,1)),求证:[∫01f(χ)dχ]2>∫01f3(χ)dχ.
admin
2016-10-21
67
问题
设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1(χ∈(0,1)),求证:[∫
0
1
f(χ)dχ]
2
>∫
0
1
f
3
(χ)dχ.
选项
答案
即证[∫
0
1
f(χ)dχ]
2
>∫
0
1
f
3
(χ)dχ>0.考察F(χ)=[∫
0
χ
f(t)dt]
2
-∫
0
χ
f
3
(t)dt, 若能证明F(χ)>0(χ∈(0,1])即可.这可用单调性方法. 令F(χ)=[∫
0
χ
f(t)dt]
2
-∫
0
χ
f
3
(t)dt,易知F(χ)在[0,1]可导,且 F(0)=0,F′(χ)=f(χ)[2∫
0
χ
f(t)dt-f
2
(χ)]. 由条件知,f(χ)在[0,1]单调上升,f(χ)>f(0)=0(χ∈(0,1]),从而F′(χ)与g(χ)=2∫
0
χ
f(t)dt-f
2
(χ)同号.再考察 g′(χ)=2f(χ)[1-f′(χ)]>0(χ∈(0,1)), g(χ)在[0,1]连续,于是g(χ)在[0,1]单调上升,g(χ)>g(0)=0(χ∈(0,1]),也就有F′(χ)>0(χ ∈(0,1]),即F(χ)在[0,1]单调上升,F(χ)>F(0)=0(χ∈(0,1]).因此 F(1)=[∫
0
χ
f(χ)dχ]
2
-∫
0
1
f
3
(χ)dχ>0. 即结论成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yPt4777K
0
考研数学二
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