已知α1，α2，α3，α4是四维非零列向量，记A=(α1，α2，α3，α4)，A是A的伴随矩阵，若齐次方程组AX=0的基础解系为(1，0，一2，0)T，则Ax=0的基础解系为( )。

admin2017-09-18 16

问题已知α₁，α₂，α₃，α₄是四维非零列向量，记A=(α₁，α₂，α₃，α₄)，A^*是A的伴随矩阵，若齐次方程组AX=0的基础解系为(1，0，一2，0)^T，则A^*x=0的基础解系为( )。

选项 A、α₁，α₂
B、α₁，α₃
C、α₁，α₂，α₃
D、α₂，α₃，α₄

答案D

解析 AX=0的基础解系只含有一个向量，所以矩阵A的秩为3，所以A存在不为0的3阶子式，即A^*不为0。所以r(A^*)≥1，又因为，此时｜A｜=0，由AA^*=｜A｜E=0，知r(A)+r(A^*)≤4。知r(A^*)≤1，所以r(A^*)=1，所以A^*x=0的基础解系含有三个向量。
所以正确答案只可能是C和D，因为(a₁，a₂，a₃，a₄)

即a₁一2a₀=0，所以a₁与a₃线性相关。而方程组的基本解系必须是线性相关的向量，所以正确答案为D。

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已知α1，α2，α3，α4是四维非零列向量，记A=(α1，α2，α3，α4)，A是A的伴随矩阵，若齐次方程组AX=0的基础解系为(1，0，一2，0)T，则Ax=0的基础解系为( )。

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