2. 考研
  3. (Ⅰ)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：AB和BA有相同的特征值，且AB～BA； (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．

(Ⅰ)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：AB和BA有相同的特征值，且AB～BA； (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．

admin2016-07-22  40
问题 (Ⅰ)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明：AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；
(Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．
选项
答案(Ⅰ)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1，2，…，n，｜A｜=n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有 ｜λE－AB｜=A(λA－1－B)｜=｜A｜｜λE－BA｜｜A－1｜= ｜λE－BA｜， 即AB和BA有相同的特征多项式，故有相同的特征值． 又若取可逆矩阵P=A，则有P－1ABP=A－1ABA=BA，故有AB～BA． (Ⅱ)若AB有特征值λ=0，则｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜=0．故BA也有特征值λ=0． 若AB有特征值λ≠0，按定义，有 ABξ=λξ(ξ≠0)． 其中ξ是AB的特征值λ对应的特征向量． 左乘B，得 BABξ=λBξ， 即 BA(Bξ)=λ(Bξ)， 其中Bξ≠0．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ．(若Bξ=0，则有ABξ=λξ=0．因ξ≠0，得λ=0，这和λ≠0矛盾．) 故AB和BA有相同的特征值． 一般AB[*]BA．例如，A=[*] 则有 [*] 显然 r(AB)=0，r(BA)=1， 故AB[*]BA．
解析
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考研数学二

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